関数 $f(x) = (1 - \frac{1}{x})^2$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(2)$ の値と $f'(2)$ の値を求めよ。 (2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $P(2, f(2))$ における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (1 - \frac{1}{x})^2$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(2)$ の値と $f'(2)$ の値を求めよ。

(2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $P(2, f(2))$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(2)$ を求める。

$f(x) = (1 - \frac{1}{x})^2$ に $x=2$ を代入する。

$f(2) = (1 - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$f'(x)$ を求める。

$f(x) = (1 - \frac{1}{x})^2$ を微分する。$\frac{1}{x}=x^{-1}$なので、$(1 - \frac{1}{x}) = (1-x^{-1})$。

$f'(x) = 2(1 - \frac{1}{x}) (\frac{1}{x^2}) = \frac{2}{x^2}(1 - \frac{1}{x}) = \frac{2}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

$f'(2)$ を求める。

$f'(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{2}{x^3}$ に $x=2$ を代入する。

$f'(2) = \frac{2}{2^2} - \frac{2}{2^3} = \frac{2}{4} - \frac{2}{8} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

(2) 点 $P(2, f(2))$ における接線の方程式を求める。

$f(2) = \frac{1}{4}$ より、点 $P$ の座標は $(2, \frac{1}{4})$。

接線の傾きは $f'(2) = \frac{1}{4}$。

接線の方程式は、$y - f(2) = f'(2) (x - 2)$ で表される。

$y - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} (x - 2)$

$y = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

$y = \frac{1}{4} x - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

$f(2) = \frac{1}{4}$

$f'(2) = \frac{1}{4}$

(2)

$y = \frac{1}{4} x - \frac{1}{4}$