問題は2つあります。 (1) 関数 $y=|x-3\sqrt{x}|$ の極値を求めます。 (2) 関数 $y=|x^2-2x|+3$ の極値を求めます。 (3) 関数 $f(x)=(ax+1)e^x$ が $x=0$ で極値をとるように、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 関数 $y=|x-3\sqrt{x}|$ の極値を求めます。

(2) 関数 $y=|x^2-2x|+3$ の極値を求めます。

(3) 関数 $f(x)=(ax+1)e^x$ が $x=0$ で極値をとるように、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y=|x-3\sqrt{x}|$ について

まず、$x \ge 0$ である必要があります。$x-3\sqrt{x}=0$ となるのは $\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)=0$ より $x=0, 9$ のときです。

$x<9$ のとき $y=3\sqrt{x}-x$ であり、

$x>9$ のとき $y=x-3\sqrt{x}$ です。

$x<9$ のとき、$y'=\frac{3}{2\sqrt{x}}-1 = \frac{3-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ です。

$y'=0$ となるのは $x=\frac{9}{4}$ のときです。

$x>9$ のとき、$y'=1-\frac{3}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}}$ です。

$y'=0$ となるのは $x=\frac{9}{4}$ となりますがこれは $x>9$ を満たさないので不適です。

$x=0$ のとき $y=0$

$x=9$ のとき $y=0$

$x=\frac{9}{4}$ のとき $y=3\sqrt{\frac{9}{4}}-\frac{9}{4} = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$

$x=0$ で最小値 $0$

$x=9$ で最小値 $0$

$x=\frac{9}{4}$ で極大値 $\frac{9}{4}$

(2) $y=|x^2-2x|+3$ について

$x^2-2x=0$ となるのは $x(x-2)=0$ より $x=0, 2$ のときです。

$x<0$ または $x>2$ のとき $y=x^2-2x+3$ であり、

$0<x<2$ のとき $y=-x^2+2x+3$ です。

$x<0$ または $x>2$ のとき、$y'=2x-2$ です。

$y'=0$ となるのは $x=1$ のときですが、これは $x<0$ または $x>2$ を満たさないので不適です。

$0<x<2$ のとき、$y'=-2x+2$ です。

$y'=0$ となるのは $x=1$ のときです。

$x=0$ のとき $y=3$

$x=2$ のとき $y=3$

$x=1$ のとき $y=-1+2+3=4$

$x=0$ で極小値 $3$

$x=2$ で極小値 $3$

$x=1$ で極大値 $4$

(3) $f(x)=(ax+1)e^x$ について

$f'(x)=ae^x + (ax+1)e^x = (ax+a+1)e^x$

$x=0$ で極値をとるので $f'(0)=0$ より $(a(0)+a+1)e^0 = 0$

$a+1=0$ よって $a=-1$

このとき $f(x)=(-x+1)e^x$ となり $f'(x)=(-x-1+1)e^x=-xe^x$ となるため、$x=0$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化するので極値をとります。

3. 最終的な答え

(1)

$x=0$ で最小値 $0$

$x=9$ で最小値 $0$

$x=\frac{9}{4}$ で極大値 $\frac{9}{4}$

(2)

$x=0$ で極小値 $3$

$x=2$ で極小値 $3$

$x=1$ で極大値 $4$

(3)

$a=-1$