次の関数の極値を求めます。 (1) $y = x - 3\sqrt{x}$ (2) $y = |x^2 - 2x| + 3$ (3) $y = x^2 \log x$ (4) $y = xe^{-x}$

1. 問題の内容

次の関数の極値を求めます。

(1) $y = x - 3\sqrt{x}$

(2) $y = |x^2 - 2x| + 3$

(3) $y = x^2 \log x$

(4) $y = xe^{-x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x - 3\sqrt{x}$

定義域は $x \ge 0$です。

$y' = 1 - \frac{3}{2\sqrt{x}}$

$y' = 0$となるのは、$\frac{3}{2\sqrt{x}} = 1$、つまり$\sqrt{x} = \frac{3}{2}$、したがって$x = \frac{9}{4}$のときです。

$x>0$における$y'$の符号を調べます。

$0 < x < \frac{9}{4}$のとき、$y' < 0$

$x > \frac{9}{4}$のとき、$y' > 0$

したがって、$x = \frac{9}{4}$で極小値をとり、極小値は$\frac{9}{4} - 3\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{9}{4} - 3\cdot\frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4}$です。

(2) $y = |x^2 - 2x| + 3$

$x^2 - 2x = x(x-2)$なので、$x=0, 2$で$x^2-2x=0$となります。

(i) $x < 0$または$x > 2$のとき、$y = x^2 - 2x + 3$

$y' = 2x - 2$

$y' = 0$となるのは、$x = 1$ですが、これはこの範囲にありません。

(ii) $0 \le x \le 2$のとき、$y = -x^2 + 2x + 3$

$y' = -2x + 2$

$y' = 0$となるのは、$x = 1$です。

$x=0$のとき、$y=3$

$x=1$のとき、$y = -1+2+3 = 4$

$x=2$のとき、$y=3$

$y' = 0$となる$x=1$において、$y''>0$または$y''<0$を調べます。

$x < 0$または$x > 2$のとき、$y'' = 2$なので下に凸です。

$0 \le x \le 2$のとき、$y'' = -2$なので上に凸です。

$x=0$と$x=2$において、$y=3$となり、$x=1$において$y=4$となります。よって、$x=1$で極大値4をとります。また、$x=0$と$x=2$で極小値3をとります。

(3) $y = x^2 \log x$

定義域は$x > 0$です。

$y' = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$

$y' = 0$となるのは、$2 \log x + 1 = 0$、つまり$\log x = -\frac{1}{2}$、したがって$x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$のときです。

$x>0$における$y'$の符号を調べます。

$0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$のとき、$y' < 0$

$x > \frac{1}{\sqrt{e}}$のとき、$y' > 0$

したがって、$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$で極小値をとり、極小値は$(\frac{1}{\sqrt{e}})^2 \log (\frac{1}{\sqrt{e}}) = \frac{1}{e} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2e}$です。

(4) $y = xe^{-x}$

$y' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$

$y' = 0$となるのは、$1 - x = 0$、つまり$x = 1$のときです。

$y'$の符号を調べます。

$x < 1$のとき、$y' > 0$

$x > 1$のとき、$y' < 0$

したがって、$x = 1$で極大値をとり、極大値は$1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$です。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{9}{4}$で極小値$-\frac{9}{4}$

(2) $x=1$で極大値4, $x=0, 2$で極小値3

(3) $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$で極小値$-\frac{1}{2e}$

(4) $x = 1$で極大値$\frac{1}{e}$