定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(2x) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(2x) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を用いて不定積分を計算します。

$u = x$ と $dv = \sin(2x)dx$ と置くと、

$du = dx$ と $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$$\int x \sin(2x) dx = x\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) dx$$

$$= -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) dx$$

$$= -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + C$$

$$= -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$$

したがって、

$$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(2x) dx = \left[-\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x)\right]_{-\pi}^{\pi}$$

$$= \left(-\frac{1}{2}\pi\cos(2\pi) + \frac{1}{4}\sin(2\pi)\right) - \left(-\frac{1}{2}(-\pi)\cos(-2\pi) + \frac{1}{4}\sin(-2\pi)\right)$$

$$= \left(-\frac{1}{2}\pi(1) + \frac{1}{4}(0)\right) - \left(\frac{1}{2}\pi(1) + \frac{1}{4}(0)\right)$$

$$= -\frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}\pi$$

$$= -\pi$$

3. 最終的な答え

$-\pi$