Q3はロジスティック方程式 $y' = A(1 - \frac{y}{B})y$ ($A, B$ は定数) を以下の手順で解く問題です。 (1) 下線部の数式を答える。括弧を展開し、$y^2$ で割ると $\frac{dy}{dt} \frac{1}{y^2} = A \frac{1}{y} - \frac{A}{B}$ になり、$u = \frac{1}{y}, \dot{u} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dt}$ を使い変形すれば、$\frac{du}{dt} = A(\frac{1}{B} - u)$ を得る。下線部を埋めよ。 (2) $u$ を求めよ。陽関数で解答せよ。 (3) 時刻ゼロで $y = B$ であった。 $y$ を求めよ。 Q4は微分方程式 $y'' + 2(y')^2 = 0$ を以下の手順で解く問題です。 (1) $y' = u(x)$ と置くと、$u' + 2u^2 = 0$ を得る。この微分方程式を変数分離法で解きなさい。解は陽関数 $u(x) = ...$ で示すこと。 (2) (1)の解は $y(x)$ の直積分形微分方程式になる。積分して $y(x)$ を求めなさい。

1. 問題の内容

Q3はロジスティック方程式 $y' = A(1 - \frac{y}{B})y$ ($A, B$ は定数) を以下の手順で解く問題です。

(1) 下線部の数式を答える。括弧を展開し、$y^2$ で割ると $\frac{dy}{dt} \frac{1}{y^2} = A \frac{1}{y} - \frac{A}{B}$ になり、$u = \frac{1}{y}, \dot{u} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dt}$ を使い変形すれば、$\frac{du}{dt} = A(\frac{1}{B} - u)$ を得る。下線部を埋めよ。

(2) $u$ を求めよ。陽関数で解答せよ。

(3) 時刻ゼロで $y = B$ であった。 $y$ を求めよ。

Q4は微分方程式 $y'' + 2(y')^2 = 0$ を以下の手順で解く問題です。

(1) $y' = u(x)$ と置くと、$u' + 2u^2 = 0$ を得る。この微分方程式を変数分離法で解きなさい。解は陽関数 $u(x) = ...$ で示すこと。

(2) (1)の解は $y(x)$ の直積分形微分方程式になる。積分して $y(x)$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

Q3:

(1)

問題文より、$\frac{du}{dt} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dt}$ であり、また、$\frac{dy}{dt} \frac{1}{y^2} = A \frac{1}{y} - \frac{A}{B} = Au - \frac{A}{B}$ より、

$\frac{du}{dt} = -Au + \frac{A}{B}$

$\frac{du}{dt} = A(\frac{1}{B} - u)$

(2)

$\frac{du}{dt} = A(\frac{1}{B} - u)$ より、$\frac{du}{\frac{1}{B} - u} = A dt$

$\int \frac{du}{\frac{1}{B} - u} = \int A dt$

$-\ln |\frac{1}{B} - u| = At + C$

$\ln |\frac{1}{B} - u| = -At - C$

$|\frac{1}{B} - u| = e^{-At - C} = e^{-C} e^{-At}$

$\frac{1}{B} - u = \pm e^{-C} e^{-At} = D e^{-At}$ (Dは任意定数)

$u = \frac{1}{B} - D e^{-At}$

(3)

時刻ゼロで $y = B$ であったので、$u = \frac{1}{y} = \frac{1}{B}$

$u(0) = \frac{1}{B} = \frac{1}{B} - D e^{0}$

$0 = -D$

$D = 0$

したがって、$u = \frac{1}{B}$

$y = \frac{1}{u} = B$

Q4:

(1)

$y' = u(x)$ より、$y'' = \frac{du}{dx}$

$\frac{du}{dx} + 2u^2 = 0$

$\frac{du}{dx} = -2u^2$

$\frac{du}{u^2} = -2 dx$

$\int \frac{du}{u^2} = \int -2 dx$

$-\frac{1}{u} = -2x + C_1$

$\frac{1}{u} = 2x - C_1$

$u = \frac{1}{2x - C_1} = \frac{1}{2x + C_1'}$ (C_1'は任意定数)

(2)

$y' = u = \frac{1}{2x + C_1}$

$y = \int \frac{1}{2x + C_1} dx = \frac{1}{2} \ln |2x + C_1| + C_2$

3. 最終的な答え

Q3:

(1) $\frac{du}{dt} = A(\frac{1}{B} - u)$

(2) $u = \frac{1}{B} - D e^{-At}$ （$D$は任意定数)

(3) $y = B$

Q4:

(1) $u(x) = \frac{1}{2x + C_1}$ （$C_1$は任意定数)

(2) $y(x) = \frac{1}{2} \ln |2x + C_1| + C_2$ ($C_1, C_2$ は任意定数)