与えられた数学の問題は、極限値を求める問題が4問と、関数の微分を求める問題が2問です。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、極限値を求める問題が4問と、関数の微分を求める問題が2問です。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$

分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

よって、

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x + 2}$

$x$ に 3 を代入します。

$\frac{3 + 3}{3 + 2} = \frac{6}{5}$

(2) $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}}$

分母を有理化します。

$\frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} + \sqrt{2}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{2}} = \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})}{(x - 1) - 2} = \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})}{x - 3}$

$x \neq 3$ であれば、

$\frac{(x - 3)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{2})}{x - 3} = \sqrt{x - 1} + \sqrt{2}$

$x$ に 3 を代入します。

$\sqrt{3 - 1} + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{\sqrt{4x^2} + x}$

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{4} + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{3}$

$x \to \infty$ のとき $\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$\frac{1 - 0}{3} = \frac{1}{3}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(5x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(5x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin(5x)} \cdot \frac{2x}{5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

(5) $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ の微分

商の微分公式を使います。

$f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x} = \frac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{1 + 2\sin x \cos x} = \frac{2}{1 + \sin(2x)}$

(6) $f(x) = \log(\tan x)$ の微分

合成関数の微分を使います。

$f'(x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin(2x)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{6}{5}$

(2) $2\sqrt{2}$

(3) $\frac{1}{3}$

(4) $\frac{2}{5}$

(5) $\frac{2}{1 + \sin(2x)}$

(6) $\frac{2}{\sin(2x)}$