$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$ と書き換えられます。

## 問題 (b) の内容

与えられた微分方程式は、

$y' - \frac{2xy}{x^2 - y^2} = 0$

です。この微分方程式を解きます。

## 解き方の手順

1. $y' = \frac{dy}{dx}$ なので、微分方程式は

$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$

と書き換えられます。

2. この式は同次形なので、$y = vx$ とおきます。すると、$y' = v + x \frac{dv}{dx}$ となります。これを代入すると、

$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx)}{x^2 - (vx)^2} = \frac{2vx^2}{x^2 - v^2x^2} = \frac{2v}{1 - v^2}$

となります。

3. $x\frac{dv}{dx} = \frac{2v}{1 - v^2} - v = \frac{2v - v + v^3}{1 - v^2} = \frac{v + v^3}{1 - v^2} = \frac{v(1 + v^2)}{1 - v^2}$

4. 変数分離を行います。

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} dv = \frac{dx}{x}$

5. $\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} = \frac{A}{v} + \frac{Bv + C}{1 + v^2}$

$1 - v^2 = A(1 + v^2) + (Bv + C)v = A + Av^2 + Bv^2 + Cv = (A + B)v^2 + Cv + A$

係数を比較すると、$A = 1$, $C = 0$, $A + B = -1$ なので、$B = -2$

したがって、

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} = \frac{1}{v} - \frac{2v}{1 + v^2}$

6. 積分を行います。

$\int \left(\frac{1}{v} - \frac{2v}{1 + v^2}\right) dv = \int \frac{dx}{x}$

$\ln|v| - \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C_1$ (ここで$C_1$は積分定数)

$\ln|\frac{v}{1 + v^2}| = \ln|x| + C_1$

$\frac{v}{1 + v^2} = Cx$ （ここで $C = e^{C_1}$）

7. $v = \frac{y}{x}$ を代入します。

$\frac{y/x}{1 + (y/x)^2} = Cx$

$\frac{y/x}{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} = Cx$

$\frac{yx}{x^2 + y^2} = Cx$

$yx = Cx(x^2 + y^2)$

$y = C(x^2 + y^2)$ （ここで $C$ は別の定数）

8. $x^2 + y^2 = \frac{y}{C}$

$x^2 + y^2 = Cy$, $C = 1/C$

## 最終的な答え

$x^2 + y^2 = Cy$