関数 $y$ が与えられています。 $ y = \begin{cases} \sqrt{x^2-2} + 3 & (x \geq 2) \\ ax^2 + bx & (x < 2) \end{cases} $ この関数が微分可能になるような定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y$ が与えられています。

$y = \begin{cases} \sqrt{x^2-2} + 3 & (x \geq 2) \\ ax^2 + bx & (x < 2) \end{cases}$

この関数が微分可能になるような定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

関数が微分可能であるためには、まず連続でなければなりません。したがって、$x=2$ で連続である必要があります。

$x \rightarrow 2^+$ のとき、$\sqrt{x^2 - 2} + 3 \rightarrow \sqrt{4 - 2} + 3 = \sqrt{2} + 3$

$x \rightarrow 2^-$ のとき、$ax^2 + bx \rightarrow 4a + 2b$

したがって、連続であるためには

$4a + 2b = \sqrt{2} + 3$

次に、$x=2$ で微分可能である必要があります。つまり、左側微分係数と右側微分係数が一致する必要があります。

$y' = \begin{cases} \frac{2x}{2\sqrt{x^2-2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2-2}} & (x > 2) \\ 2ax + b & (x < 2) \end{cases}$

$x \rightarrow 2^+$ のとき、$\frac{x}{\sqrt{x^2-2}} \rightarrow \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$x \rightarrow 2^-$ のとき、$2ax + b \rightarrow 4a + b$

したがって、微分可能であるためには

$4a + b = \sqrt{2}$

これで連立方程式ができました。

$4a + 2b = \sqrt{2} + 3$

$4a + b = \sqrt{2}$

上の式から下の式を引くと、

$b = 3$

これを $4a + b = \sqrt{2}$ に代入すると、

$4a + 3 = \sqrt{2}$

$4a = \sqrt{2} - 3$

$a = \frac{\sqrt{2} - 3}{4}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{\sqrt{2} - 3}{4}$

$b = 3$