問題は、定積分を含む関数 $f(x)$ と $g(x)$ が与えられ、$g(a)=5$ であるとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $\int_0^2 f(t) dt$ が定数であることから、$k = \int_0^2 f(t) dt$ とおくと、$k$ の値を求め、$f(x)$ を $k$ を用いて表す。 (2) 定数 $a$ の値を求め、$g'(a)$ の値を求める。点$(a, g(a))$ における曲線 $y=g(x)$ の接線の方程式を求める。 (3) 直線 $l$ と曲線 $y=f(x)$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

問題は、定積分を含む関数 $f(x)$ と $g(x)$ が与えられ、$g(a)=5$ であるとき、以下の問いに答えるものです。

(1) $\int_0^2 f(t) dt$ が定数であることから、$k = \int_0^2 f(t) dt$ とおくと、$k$ の値を求め、$f(x)$ を $k$ を用いて表す。

(2) 定数 $a$ の値を求め、$g'(a)$ の値を求める。点$(a, g(a))$ における曲線 $y=g(x)$ の接線の方程式を求める。

(3) 直線 $l$ と曲線 $y=f(x)$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$k = \int_0^2 f(t) dt$ とおくと、$f(x) = 3x^2 - 6x + k$ なので、

$k = \int_0^2 (3t^2 - 6t + k) dt = [t^3 - 3t^2 + kt]_0^2 = (8 - 12 + 2k) - 0 = 2k - 4$

したがって、$k = 2k - 4$ より $k = 4$。

よって、$f(x) = 3x^2 - 6x + 4$。

(2)

$g(x) = 3x + 2 + \int_a^x f(t) dt$ であり、$g(a) = 5$ なので、

$g(a) = 3a + 2 + \int_a^a f(t) dt = 3a + 2 + 0 = 3a + 2 = 5$

よって、$3a = 3$ より $a = 1$。

$g'(x) = 3 + f(x)$ なので、$g'(a) = g'(1) = 3 + f(1) = 3 + (3 - 6 + 4) = 3 + 1 = 4$。

点$(1, g(1)) = (1, 5)$ における接線の方程式は、

$y - 5 = g'(1)(x - 1) = 4(x - 1)$

$y = 4x - 4 + 5 = 4x + 1$

(3)

直線 $l$ は $y = 4x + 1$ であり、$f(x) = 3x^2 - 6x + 4$。

交点を求めるために、$3x^2 - 6x + 4 = 4x + 1$ を解くと、

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

$(3x - 1)(x - 3) = 0$

$x = \frac{1}{3}, 3$

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{1/3}^3 \{(4x + 1) - (3x^2 - 6x + 4)\} dx = \int_{1/3}^3 (-3x^2 + 10x - 3) dx$

$= [-x^3 + 5x^2 - 3x]_{1/3}^3 = (-27 + 45 - 9) - (-\frac{1}{27} + \frac{5}{9} - 1) = 9 - (-\frac{1}{27} + \frac{15}{27} - \frac{27}{27}) = 9 - (-\frac{13}{27}) = 9 + \frac{13}{27} = \frac{243+13}{27} = \frac{256}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $k = 4$

(2) $a = 1$, $g'(a) = 4$, 接線の方程式: $y = 4x + 1$

(3) $S = \frac{256}{27}$