関数 $f(x)$ と $g(x)$ が与えられており、それらは定積分を含む関係式を満たします。 $f(x) = 3x^2 - 6x + \int_0^2 f(t) dt$ $g(x) = 3x + 2 + \int_a^x f(t) dt$ また、$g(a) = 5$ が与えられています。 (1) $\int_0^2 f(t) dt$ を定数 $k$ とおき、$f(x)$ を $k$ を用いて表し、$k$ の値を求めます。 (2) 定数 $a$ の値を求め、点 $(a, g(a))$ における曲線 $y = g(x)$ の接線の方程式を求めます。 最後に、この接線と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x)$ が与えられており、それらは定積分を含む関係式を満たします。

$f(x) = 3x^2 - 6x + \int_0^2 f(t) dt$

$g(x) = 3x + 2 + \int_a^x f(t) dt$

また、$g(a) = 5$ が与えられています。

(1) $\int_0^2 f(t) dt$ を定数 $k$ とおき、$f(x)$ を $k$ を用いて表し、$k$ の値を求めます。

(2) 定数 $a$ の値を求め、点 $(a, g(a))$ における曲線 $y = g(x)$ の接線の方程式を求めます。

最後に、この接線と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$k = \int_0^2 f(t) dt$ とおくと、$f(x) = 3x^2 - 6x + k$ となります。

この式を積分の中に代入すると、

$k = \int_0^2 (3t^2 - 6t + k) dt$

$k = [t^3 - 3t^2 + kt]_0^2 = (8 - 12 + 2k) - (0 - 0 + 0) = -4 + 2k$

$k = -4 + 2k$ より $k = 4$ となります。

したがって、$f(x) = 3x^2 - 6x + 4$ です。

(2)

$g(x) = 3x + 2 + \int_a^x (3t^2 - 6t + 4) dt$ であり、$g(a) = 5$ です。

$g(a) = 3a + 2 + \int_a^a (3t^2 - 6t + 4) dt = 3a + 2 + 0 = 3a + 2 = 5$

$3a = 3$ より $a = 1$ となります。

$g'(x) = 3 + f(x) = 3 + 3x^2 - 6x + 4 = 3x^2 - 6x + 7$

$g'(a) = g'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 7 = 3 - 6 + 7 = 4$

点 $(1, g(1))$ における接線の方程式は、

$y - g(1) = g'(1)(x - 1)$

$g(1) = 5$ であるので、

$y - 5 = 4(x - 1)$

$y = 4x - 4 + 5 = 4x + 1$

次に、直線 $y = 4x + 1$ と曲線 $y = f(x) = 3x^2 - 6x + 4$ で囲まれた面積 $S$ を求めます。

$3x^2 - 6x + 4 = 4x + 1$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

$(3x - 1)(x - 3) = 0$

$x = \frac{1}{3}, 3$

$S = \int_{1/3}^3 |(3x^2 - 6x + 4) - (4x + 1)| dx = \int_{1/3}^3 |3x^2 - 10x + 3| dx$

$\int_{1/3}^3 (3x^2 - 10x + 3) dx = [x^3 - 5x^2 + 3x]_{1/3}^3 = (27 - 45 + 9) - (1/27 - 5/9 + 1) = -9 - (1/27 - 15/27 + 27/27) = -9 - 13/27 = -256/27$

$S = |\int_{1/3}^3 (3x^2 - 10x + 3) dx| = \left|-\frac{256}{27}\right| = \frac{256}{27}$

3. 最終的な答え

$k = 4$

$a = 1$

$g'(a) = 4$

接線の方程式: $y = 4x + 1$

面積: $S = \frac{256}{27}$