問題1：曲線 $y = \sqrt{x}$ ($x > 0$) について、点 $(0, 3)$ を通る接線の方程式と法線の方程式を求める。 問題2：曲線 $x^2 - 2x + 4y^2 - 16y + 9 = 0$ 上の点 $(3, 1)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題1：曲線 $y = \sqrt{x}$ ($x > 0$) について、点 $(0, 3)$ を通る接線の方程式と法線の方程式を求める。

問題2：曲線 $x^2 - 2x + 4y^2 - 16y + 9 = 0$ 上の点 $(3, 1)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

問題1：

まず、$y = \sqrt{x}$ の導関数を求める。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

接線の傾きを $m$ とすると、接点を $(t, \sqrt{t})$ とおくことができる。このとき、接線の方程式は

$y - \sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}(x - t)$

この接線が点 $(0, 3)$ を通るので、代入すると

$3 - \sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}(0 - t)$

$3 - \sqrt{t} = -\frac{\sqrt{t}}{2}$

$6 - 2\sqrt{t} = -\sqrt{t}$

$\sqrt{t} = 6$

$t = 36$

したがって、接点の座標は $(36, 6)$ であり、接線の傾きは $\frac{1}{2\sqrt{36}} = \frac{1}{12}$ となる。

接線の方程式は

$y - 6 = \frac{1}{12}(x - 36)$

$y = \frac{1}{12}x - 3 + 6$

$y = \frac{1}{12}x + 3$

法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を変えたものなので、 $-12$ である。

法線の方程式は

$y - 6 = -12(x - 36)$

$y = -12x + 432 + 6$

$y = -12x + 438$

問題2：

与えられた曲線の方程式は $x^2 - 2x + 4y^2 - 16y + 9 = 0$ である。

この式を $x$ で微分すると、

$2x - 2 + 8y \frac{dy}{dx} - 16 \frac{dy}{dx} = 0$

$(8y - 16) \frac{dy}{dx} = 2 - 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 - 2x}{8y - 16} = \frac{1 - x}{4y - 8}$

点 $(3, 1)$ における接線の傾きは、

$\frac{dy}{dx}|_{(3, 1)} = \frac{1 - 3}{4(1) - 8} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$

接線の方程式は

$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} + 1$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

問題1：

接線の方程式：$y = \frac{1}{12}x + 3$

法線の方程式：$y = -12x + 438$

問題2：

接線の方程式：$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$