微分方程式 $y'' + y = \frac{1}{\cos(x)}$ の特殊解を定数変化法で求める問題です。 (1) 同次方程式 $y'' + y = 0$ の基本解 $y_1, y_2$ を三角関数で表す。 (2) ロンスキアンを求める。 (3) 関数 $A_1(x), A_2(x)$ をそれぞれ求める。 (4) 特殊解 $y_s$ を求め、導出過程を明記する。

1. 問題の内容

微分方程式 $y'' + y = \frac{1}{\cos(x)}$ の特殊解を定数変化法で求める問題です。

(1) 同次方程式 $y'' + y = 0$ の基本解 $y_1, y_2$ を三角関数で表す。

(2) ロンスキアンを求める。

(3) 関数 $A_1(x), A_2(x)$ をそれぞれ求める。

(4) 特殊解 $y_s$ を求め、導出過程を明記する。

2. 解き方の手順

(1) 同次方程式 $y'' + y = 0$ の特性方程式は $\lambda^2 + 1 = 0$ となり、解は $\lambda = \pm i$ となる。よって、基本解は $y_1 = e^{ix}, y_2 = e^{-ix}$ となる。三角関数で表すと、$y_1 = \cos(x), y_2 = \sin(x)$ となる。

(2) ロンスキアン $W$ は

$W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\ -\sin(x) & \cos(x) \end{vmatrix} = \cos(x)\cos(x) - (-\sin(x)\sin(x)) = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

(3) $A_1(x), A_2(x)$ を求める。

$A_1(x) = - \int \frac{y_2 f(x)}{W} dx = - \int \frac{\sin(x) \frac{1}{\cos(x)}}{1} dx = - \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} dx = \int \frac{d(\cos(x))}{\cos(x)} = \ln|\cos(x)|$

$A_2(x) = \int \frac{y_1 f(x)}{W} dx = \int \frac{\cos(x) \frac{1}{\cos(x)}}{1} dx = \int 1 dx = x$

(4) 特殊解 $y_s$ を求める。

$y_s = A_1(x) y_1 + A_2(x) y_2 = \ln|\cos(x)| \cos(x) + x \sin(x)$

3. 最終的な答え

(1) $y_1 = \cos(x), y_2 = \sin(x)$

(2) $W = 1$

(3) $A_1(x) = \ln|\cos(x)|, A_2(x) = x$

(4) $y_s = \cos(x)\ln|\cos(x)| + x\sin(x)$