次の不定積分を計算します。 $\int \frac{dx}{x^2-4}$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{dx}{x^2-4}$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$であるから、

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$

とおける。両辺に$x^2-4$をかけると、

$1 = A(x+2) + B(x-2)$

$1 = (A+B)x + 2A - 2B$

したがって、$A+B=0$かつ$2A-2B=1$となる。

$A = -B$を$2A-2B=1$に代入すると、$2A + 2A = 1$より、$4A = 1$。

よって、$A = \frac{1}{4}$, $B = -\frac{1}{4}$

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right)$

したがって、

$\int \frac{dx}{x^2-4} = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= \frac{1}{4} \left( \int \frac{1}{x-2} dx - \int \frac{1}{x+2} dx \right)$

$= \frac{1}{4} (\log|x-2| - \log|x+2|) + C$

$= \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C$