定積分を計算する問題です。以下の式を計算します。 $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x \right]_ {-1}^{3}$

1. 問題の内容

定積分を計算する問題です。以下の式を計算します。

$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x \right]_ {-1}^{3}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式に $x=3$ を代入して計算します。

$\frac{3^4}{4} - \frac{5}{3}(3^3) + \frac{3}{2}(3^2) + 9(3) = \frac{81}{4} - \frac{5}{3}(27) + \frac{3}{2}(9) + 27 = \frac{81}{4} - 45 + \frac{27}{2} + 27 = \frac{81}{4} + \frac{54}{4} - 18 = \frac{135}{4} - \frac{72}{4} = \frac{63}{4}$

次に、与えられた式に $x=-1$ を代入して計算します。

$\frac{(-1)^4}{4} - \frac{5}{3}(-1)^3 + \frac{3}{2}(-1)^2 + 9(-1) = \frac{1}{4} + \frac{5}{3} + \frac{3}{2} - 9 = \frac{3}{12} + \frac{20}{12} + \frac{18}{12} - \frac{108}{12} = \frac{41}{12} - \frac{108}{12} = -\frac{67}{12}$

最後に、それぞれの値を引き算します。

$\frac{63}{4} - \left(-\frac{67}{12}\right) = \frac{63}{4} + \frac{67}{12} = \frac{189}{12} + \frac{67}{12} = \frac{256}{12} = \frac{64}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{64}{3}$