問題は $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の2つの方程式を満たす $\theta$ の値を求める問題です。 (1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

1. 問題の内容

問題は $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の2つの方程式を満たす $\theta$ の値を求める問題です。

(1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ について考えます。

$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $x$ の値は、$x = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ です。

したがって、

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ または $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ となります。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ のとき、

$\theta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ のとき、

$\theta = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$

(2) $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ について考えます。

$\sin x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ の値は、$x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

したがって、

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$ または $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$ となります。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$ のとき、

$\theta = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$ のとき、

$\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$

しかし、$\theta < 2\pi$ より、$\theta = \frac{13\pi}{6}$ は条件を満たさないので、

$\theta = \frac{13\pi}{6} - 2\pi = \frac{13\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$という操作をしてはいけない。(今回はこの計算は不要)

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}, \pi$

(2) $\theta = \frac{3\pi}{2}$

$\theta = \frac{13\pi}{6}$は範囲外なので除外。