曲線 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}\log x$ の $1 \le x \le 2$ の部分の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}\log x$ の $1 \le x \le 2$ の部分の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さは以下の公式で求められます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}\log x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2x}$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (\frac{1}{2}x - \frac{1}{2x})^2$

$= 1 + (\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2})$

$= \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2}$

$= (\frac{1}{2}x + \frac{1}{2x})^2$

したがって、$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2x})^2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2x}$　（$x>0$より）

曲線の長さを計算します。

$L = \int_{1}^{2} (\frac{1}{2}x + \frac{1}{2x}) dx$

$= \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x}) dx$

$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2}x^2 + \log x]_{1}^{2}$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{2}(2)^2 + \log 2) - (\frac{1}{2}(1)^2 + \log 1)]$

$= \frac{1}{2} [(2 + \log 2) - (\frac{1}{2} + 0)]$

$= \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \log 2]$

$= \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \log 2$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}\log 2$