次の2つの不等式を示す問題です。 (1) $x \le (1+x)\log(1+x)$ (2) $e^x \le \frac{1}{1-x}$ (ただし、$x<1$)

1. 問題の内容

次の2つの不等式を示す問題です。

(1) $x \le (1+x)\log(1+x)$

(2) $e^x \le \frac{1}{1-x}$ (ただし、$x<1$)

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x) = (1+x)\log(1+x) - x$ を考えます。

この不等式を示すためには、$x > -1$ の範囲で $f(x) \ge 0$ を示す必要があります。

まず、$f(0) = (1+0)\log(1+0) - 0 = 1 \cdot 0 - 0 = 0$。

次に、導関数を計算します。

$f'(x) = \log(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} - 1 = \log(1+x) + 1 - 1 = \log(1+x)$。

$f'(x) = \log(1+x)$

$x > 0$ のとき、$\log(1+x) > 0$ より $f'(x) > 0$。

$-1 < x < 0$ のとき、$\log(1+x) < 0$ より $f'(x) < 0$。

したがって、$x=0$ で $f(x)$ は極小値をとります。

$f(0) = 0$ なので、$f(x) \ge 0$ が成り立ちます。

したがって、$x \le (1+x)\log(1+x)$ が成り立ちます。

(2)

関数 $g(x) = \frac{1}{1-x} - e^x$ を考えます。

この不等式を示すためには、$x < 1$ の範囲で $g(x) \ge 0$ を示す必要があります。

まず、$g(0) = \frac{1}{1-0} - e^0 = 1 - 1 = 0$。

次に、導関数を計算します。

$g'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} - e^x$

$g''(x) = \frac{2}{(1-x)^3} - e^x$

$g'''(x) = \frac{6}{(1-x)^4} - e^x$

$x < 1$ で $g'''(x) > 0$。

したがって、$g''(x)$ は増加関数です。

$g''(0) = 2 - 1 = 1 > 0$ なので、$x < 1$ で $g''(x) > 0$。

したがって、$g'(x)$ は増加関数です。

$g'(0) = 1 - 1 = 0$ なので、$x < 0$ で $g'(x) < 0$、$0 < x < 1$ で $g'(x) > 0$。

したがって、$g(x)$ は $x = 0$ で極小値（最小値）をとります。

$g(0) = 0$ なので、$x < 1$ で $g(x) \ge 0$。

したがって、$e^x \le \frac{1}{1-x}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $x \le (1+x)\log(1+x)$

(2) $e^x \le \frac{1}{1-x}$ (ただし、$x<1$)