(1) $\sin^2 x$ と $\cos^2 x$ を $\cos 2x$ を用いて表す。 (2) $0 \leqq x \leqq \pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + 3\cos^2 x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin^2 x$ と $\cos^2 x$ を $\cos 2x$ を用いて表す。

(2) $0 \leqq x \leqq \pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + 3\cos^2 x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 2x$ の2倍角の公式より、

$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$$

また、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ であるから、

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を代入すると、

$$\cos 2x = 1 - \sin^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x$$

よって、

$$2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$$

$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を代入すると、

$$\cos 2x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x - 1$$

よって、

$$2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$$

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

(2)

$y = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + 3\cos^2 x$ において、

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, $2\sin x\cos x = \sin 2x$ を代入すると、

$$y = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \sin 2x + 3\frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1 - \cos 2x + 2\sin 2x + 3 + 3\cos 2x}{2} = \frac{4 + 2\cos 2x + 2\sin 2x}{2} = 2 + \sin 2x + \cos 2x$$

$y = 2 + \sin 2x + \cos 2x = 2 + \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x) = 2 + \sqrt{2}\sin (2x + \frac{\pi}{4})$

$0 \leqq x \leqq \pi$ より $0 \leqq 2x \leqq 2\pi$ であるから、$\frac{\pi}{4} \leqq 2x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{9\pi}{4}$

$\sin (2x + \frac{\pi}{4})$ の最大値は $1$ (when $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, i.e., $2x = \frac{\pi}{4}$ or $x = \frac{\pi}{8}$)

$\sin (2x + \frac{\pi}{4})$ の最小値は $-1$ (when $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$, i.e., $2x = \frac{5\pi}{4}$ or $x = \frac{5\pi}{8}$)

よって、$y$ の最大値は $2 + \sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{8}$ のとき)、最小値は $2 - \sqrt{2}$ ($x = \frac{5\pi}{8}$ のとき)。

3. 最終的な答え

(1) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

(2) 最大値 $2 + \sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{8}$ のとき)、最小値 $2 - \sqrt{2}$ ($x = \frac{5\pi}{8}$ のとき)