曲線 $y=2-e^x$ と $x$軸および $y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y=2-e^x$ と $x$軸および $y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y=2-e^x$ と $x$軸との交点を求めます。これは、$y=0$ となる $x$ の値を求めることと同じです。

$0 = 2 - e^x$ より、$e^x = 2$ となります。両辺の自然対数をとると、$x = \ln 2$ となります。

次に、求める面積を積分で表します。

$x$軸、y軸、曲線で囲まれた領域なので、積分範囲は $0$ から $\ln 2$ となります。

$y=2-e^x$ を積分します。求める面積 $S$ は以下のようになります。

$S = \int_{0}^{\ln 2} (2 - e^x) dx$

積分を実行します。

$\int (2 - e^x) dx = 2x - e^x + C$

定積分を計算します。

$S = [2x - e^x]_{0}^{\ln 2} = (2\ln 2 - e^{\ln 2}) - (2(0) - e^0) = (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 2 + 1 = 2\ln 2 - 1$

3. 最終的な答え

$2\ln 2 - 1$