与えられた積分 $\int \frac{x+2}{x(x+1)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{x+2}{x(x+1)} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{x+2}{x(x+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{x+2}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $x(x+1)$ をかけると、

$x+2 = A(x+1) + Bx$

$x+2 = (A+B)x + A$

したがって、$A+B=1$ かつ $A=2$。よって、$B = 1 - A = 1 - 2 = -1$。

したがって、

$\frac{x+2}{x(x+1)} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}$

積分は

$\int \frac{x+2}{x(x+1)} dx = \int \left( \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx$

$= 2 \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$

$= 2 \ln |x| - \ln |x+1| + C$

$= \ln x^2 - \ln |x+1| + C$

$= \ln \left| \frac{x^2}{x+1} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\ln \left| \frac{x^2}{x+1} \right| + C$