曲線 $y = x^2 - 2$ と $x$軸で囲まれた部分を、$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積$V$を求める。

## (1) の問題

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 - 2$ と $x$軸で囲まれた部分を、$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積$V$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 2$ と $x$軸の交点を求めます。$y = 0$ とすると、

$x^2 - 2 = 0$ より $x = \pm \sqrt{2}$ となります。

回転体の体積は、バウムクーヘン積分を使うと便利です。

$V = \int_a^b 2\pi x |f(x)| dx$

ここで、$f(x)$は$y = x^2 - 2$で、$a$と$b$は積分範囲の端点です。

今回は、$a = -\sqrt{2}$、$b = \sqrt{2}$ です。$x$軸より下側の部分の体積を求めるので絶対値記号を付けると、

$V = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2\pi |x(x^2 - 2)| dx$

$f(x) = x(x^2-2)$について、$x \in [-\sqrt{2},0]$ で $f(x) \geq 0$ 、$x \in [0, \sqrt{2}]$ で $f(x) \leq 0$ となるので、

$V = 2\pi \int_{-\sqrt{2}}^{0} (x^3 - 2x) dx + 2\pi \int_{0}^{\sqrt{2}} (-x^3 + 2x) dx$

$V = 2\pi [ \frac{x^4}{4} - x^2 ]_{-\sqrt{2}}^0 + 2\pi [ -\frac{x^4}{4} + x^2 ]_0^{\sqrt{2}}$

$V = 2\pi [ 0 - (\frac{4}{4} - 2) ] + 2\pi [ -\frac{4}{4} + 2 - 0 ]$

$V = 2\pi [ -1 + 2] + 2\pi [ -1 + 2 ] = 2\pi + 2\pi = 4\pi$

3. 最終的な答え

$V = 4\pi$

## (3) の問題

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{2x}$、直線 $y = 2$ および $y$軸で囲まれた部分を、$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積$V$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{2x}$ を $x$ について解きます。

$y^2 = 2x$ より、

$x = \frac{y^2}{2}$

次に、$y = \sqrt{2x}$ と $y = 2$ の交点を求めます。

$2 = \sqrt{2x}$ より、

$4 = 2x$

$x = 2$

回転体の体積は、

$V = \int_0^2 \pi x^2 dy = \pi \int_0^2 (\frac{y^2}{2})^2 dy$

$V = \pi \int_0^2 \frac{y^4}{4} dy$

$V = \pi [\frac{y^5}{20}]_0^2$

$V = \pi (\frac{32}{20} - 0)$

$V = \pi \frac{8}{5}$

3. 最終的な答え

$V = \frac{8}{5}\pi$