定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} x \cos(2x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} x \cos(2x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って計算します。

部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

今回の積分では、$u = x$ と $dv = \cos(2x) dx$ とします。

すると、$du = dx$ となり、$v = \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$ となります。

したがって、

$\int x \cos(2x) dx = x \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) dx$

$= \frac{1}{2}x\sin(2x) - \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx$

$= \frac{1}{2}x\sin(2x) - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) + C$

$= \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-\pi}^{\pi} x \cos(2x) dx = \left[\frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x)\right]_{-\pi}^{\pi}$

$= \left(\frac{1}{2}\pi\sin(2\pi) + \frac{1}{4}\cos(2\pi)\right) - \left(\frac{1}{2}(-\pi)\sin(-2\pi) + \frac{1}{4}\cos(-2\pi)\right)$

$= \left(\frac{1}{2}\pi \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 1\right) - \left(-\frac{1}{2}\pi \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 1\right)$

$= \left(0 + \frac{1}{4}\right) - \left(0 + \frac{1}{4}\right)$

$= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$

別の解き方として、$f(x) = x\cos(2x)$という関数は奇関数であるため、$\int_{-\pi}^{\pi} x \cos(2x) dx = 0$となります。

3. 最終的な答え

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