与えられた曲線について、指定された点における接線を求める問題です。具体的には以下の2つの問題を解きます。 (1) 曲線 $y = x \log x$ の $x=1$ における接線 (2) 曲線 $y = \arctan(\frac{x^2}{2})$ (arctanは$\tan^{-1}$と同じ) の $x=\sqrt{2}$ における接線

1. 問題の内容

与えられた曲線について、指定された点における接線を求める問題です。具体的には以下の2つの問題を解きます。

(1) 曲線 $y = x \log x$ の $x=1$ における接線

(2) 曲線 $y = \arctan(\frac{x^2}{2})$ (arctanは$\tan^{-1}$と同じ) の $x=\sqrt{2}$ における接線

2. 解き方の手順

接線を求める一般的な手順は以下の通りです。

(1) 導関数 $y'$ を求める。

(2) 指定された点 $x=a$ における導関数の値 $y'(a)$ (傾き) を求める。

(3) 点 $(a, y(a))$ を求める。

(4) 接線の式 $y - y(a) = y'(a)(x - a)$ を求める。

(1) $y = x \log x$ について

(1) 導関数 $y'$ を求める。積の微分法を使うと

$y' = (x)' \log x + x (\log x)' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

(2) $x=1$ における導関数の値を求める。

$y'(1) = \log 1 + 1 = 0 + 1 = 1$

(3) 点 $(1, y(1))$ を求める。

$y(1) = 1 \cdot \log 1 = 1 \cdot 0 = 0$

よって、点 $(1, 0)$

(4) 接線の式を求める。

$y - 0 = 1(x - 1)$

$y = x - 1$

(2) $y = \arctan(\frac{x^2}{2})$ について

(1) 導関数 $y'$ を求める。合成関数の微分法を使うと

$y' = \frac{1}{1 + (\frac{x^2}{2})^2} \cdot (\frac{x^2}{2})' = \frac{1}{1 + \frac{x^4}{4}} \cdot x = \frac{x}{1 + \frac{x^4}{4}} = \frac{4x}{4 + x^4}$

(2) $x=\sqrt{2}$ における導関数の値を求める。

$y'(\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{4 + (\sqrt{2})^4} = \frac{4\sqrt{2}}{4 + 4} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) 点 $(\sqrt{2}, y(\sqrt{2}))$ を求める。

$y(\sqrt{2}) = \arctan(\frac{(\sqrt{2})^2}{2}) = \arctan(\frac{2}{2}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

よって、点 $(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})$

(4) 接線の式を求める。

$y - \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - \sqrt{2})$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}x - 1 + \frac{\pi}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\pi}{4} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = x - 1$

(2) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\pi}{4} - 1$