定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解くことができます。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここでは、$u = x$ と $dv = \sin(x) dx$ とします。

すると、$du = dx$ と $v = -\cos(x)$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(x) dx = \left[ -x \cos(x) \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} -\cos(x) dx$$

$$= \left[ -x \cos(x) \right]_{-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^{\pi} \cos(x) dx$$

ここで、$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$ であるから、

$$= \left[ -x \cos(x) \right]_{-\pi}^{\pi} + \left[ \sin(x) \right]_{-\pi}^{\pi}$$

$$= (-\pi \cos(\pi) - (-(-\pi) \cos(-\pi))) + (\sin(\pi) - \sin(-\pi))$$

$\cos(\pi) = -1$, $\cos(-\pi) = -1$, $\sin(\pi) = 0$, $\sin(-\pi) = 0$ なので、

$$= (-\pi (-1) - (\pi (-1))) + (0 - 0)$$

$$= (\pi + \pi) + 0$$

$$= 2\pi$$

3. 最終的な答え

$2\pi$