数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ について、以下の問いに答える。 (ア) $\frac{5}{8}$ は第何項か。 (イ) この数列の第800項を求めよ。 (ウ) この数列の初項から第800項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ について、以下の問いに答える。

(ア) $\frac{5}{8}$ は第何項か。

(イ) この数列の第800項を求めよ。

(ウ) この数列の初項から第800項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列の規則性を把握する。分母が $n$ の項は $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$ を分子とする。そして、分母が $n$ の項は $n$ 個続く。

(ア) $\frac{5}{8}$ について考える。分母が $8$ なので、$\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}, \frac{9}{8}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}, \frac{15}{8}$ と続く。$\frac{5}{8}$ は分母が $8$ の項の中で3番目である。分母が $1$ から $7$ までの項数は $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28$ である。したがって、$\frac{5}{8}$ は第 $28 + 3 = 31$ 項である。

(イ) 第 $800$ 項について考える。分母が $n$ の項が $n$ 個続くので、分母が $n$ までの項数は $\frac{n(n+1)}{2}$ である。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 800$ を満たす最大の整数 $n$ を求める。

$n(n+1) \le 1600$ を満たす最大の $n$ を探す。

$n = 39$ のとき、 $39 \cdot 40 = 1560 < 1600$

$n = 40$ のとき、 $40 \cdot 41 = 1640 > 1600$

したがって、分母が $39$ までの項数は $\frac{39 \cdot 40}{2} = 780$ である。

第 $800$ 項は、分母が $40$ の項の中の $800 - 780 = 20$ 番目の項である。

分母が $40$ の項は $\frac{1}{40}, \frac{3}{40}, \frac{5}{40}, \dots$ と続くので、20番目の項は $\frac{2 \cdot 20 - 1}{40} = \frac{39}{40}$ である。

(ウ) 初項から第 $800$ 項までの和を求める。分母が $n$ の項の和は $\frac{1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)}{n} = \frac{n^2}{n} = n$ である。したがって、分母が $1$ から $39$ までの項の和は $\sum_{k=1}^{39} k = \frac{39 \cdot 40}{2} = 780$ である。第 $800$ 項は分母が $40$ の項の中の $20$ 番目の項であるから、残りの $20$ 項は $\frac{1}{40}, \frac{3}{40}, \frac{5}{40}, \dots, \frac{39}{40}$ である。これらの和は $\frac{1 + 3 + 5 + \dots + 39}{40} = \frac{20^2}{40} = \frac{400}{40} = 10$ である。

したがって、初項から第 $800$ 項までの和は $780 + 10 = 790$ である。

3. 最終的な答え

(ア) 31

(イ) $\frac{39}{40}$

(ウ) 790