命題「$x \ge 3$ ならば $3|x-2| - x \ge 0$」の逆、裏、対偶をそれぞれ選択肢から選び、それらの真偽を選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

命題「$x \ge 3$ ならば $3|x-2| - x \ge 0$」の逆、裏、対偶をそれぞれ選択肢から選び、それらの真偽を選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を $p \implies q$ と表します。ここで、$p$ は $x \ge 3$、$q$ は $3|x-2| - x \ge 0$ です。

* **逆**: $q \implies p$。つまり、$3|x-2| - x \ge 0$ ならば $x \ge 3$。選択肢の中からこれに該当するのは⑤です。

* **裏**: $\neg p \implies \neg q$。つまり、$x < 3$ ならば $3|x-2| - x < 0$。選択肢の中からこれに該当するのは②です。

* **対偶**: $\neg q \implies \neg p$。つまり、$3|x-2| - x < 0$ ならば $x < 3$。選択肢の中からこれに該当するのは④です。

次に、逆、裏、対偶の真偽を判定します。

* **逆**: $3|x-2| - x \ge 0$ ならば $x \ge 3$。$x = 0$ のとき、$3|0-2| - 0 = 6 \ge 0$ ですが、$x \ge 3$ は成り立ちません。したがって、逆は偽です。

* **裏**: $x < 3$ ならば $3|x-2| - x < 0$。$x=0$のとき、$3|0-2|-0=6<0$は成り立ちません。したがって、裏は偽です。

* **対偶**: $3|x-2| - x < 0$ ならば $x < 3$。対偶は元の命題の真偽と一致します。元の命題、$x \ge 3$ ならば $3|x-2| - x \ge 0$ について、$x \ge 3$のとき、$x-2 \ge 1$だから、$|x-2| = x-2$。

よって、$3(x-2) - x = 2x - 6$。$x \ge 3$ ならば、$2x - 6 \ge 0$ となり、元の命題は真です。

したがって、対偶も真です。

3. 最終的な答え

逆: ⑤, 真偽: 偽

裏: ②, 真偽: 偽

対偶: ④, 真偽: 真