5人の人をA, B, Cの3つの組に分ける方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、各組には少なくとも1人は入るものとします。

1. 問題の内容

5人の人をA, B, Cの3つの組に分ける方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、各組には少なくとも1人は入るものとします。

2. 解き方の手順

まず、各組に少なくとも1人入るように5人を3つの組に分ける方法を考えます。

考えられる人数配分は以下の2パターンです。

(1) 3人、1人、1人

(2) 2人、2人、1人

(1) 3人、1人、1人の場合：

まず、5人の中から3人を選ぶ組み合わせは $\binom{5}{3}$ 通りです。

残りの2人から1人を選ぶ組み合わせは $\binom{2}{1}$ 通りです。

最後に残った1人は自動的に決まります。

しかし、1人の組が2つあるので、区別しないように2!で割る必要があります。

したがって、この場合の分け方は、

$\frac{\binom{5}{3}\binom{2}{1}}{2!} = \frac{\frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{2!}{1!1!}}{2} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 2}{2} = \frac{10 \cdot 2}{2} = 10$ 通りです。

そして、3つの組A, B, Cに割り振る方法は、3! = 3 x 2 x 1 = 6通りあります。

なので、この場合の分け方は、10 x 3 = 30通りとなります。

(2) 2人、2人、1人の場合：

まず、5人の中から2人を選ぶ組み合わせは $\binom{5}{2}$ 通りです。

残りの3人から2人を選ぶ組み合わせは $\binom{3}{2}$ 通りです。

最後に残った1人は自動的に決まります。

しかし、2人の組が2つあるので、区別しないように2!で割る必要があります。

したがって、この場合の分け方は、

$\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{2!} = \frac{\frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{3!}{2!1!}}{2} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ 通りです。

そして、3つの組A, B, Cに割り振る方法は、3! = 3 x 2 x 1 = 6通りあります。

A, Bに2人、Cに1人を割り当てるので、A, Bの選び方は3通りあります。

なので、この場合の分け方は、15 x 3 = 45通りとなります。

上記(1), (2)の場合の合計は、30 + 45 = 75通りとなります。

各場合においてA, B, Cに割り当てたので、それを考慮する必要はありません。

したがって、5人を3つの組A, B, Cに分ける方法は、

$10 \times 3 + 15 \times 3 = 30 + 45 = 25+50= 75$ 通り

3. 最終的な答え

75通り