与えられた2つの命題について、それぞれの否定を述べ、元の命題とその否定の真偽を判定する。 (1) すべての実数 $x$ について、$(x+1)^2 > 0$ (2) ある自然数 $n$ について、$n^2 = 5$

1. 問題の内容

与えられた2つの命題について、それぞれの否定を述べ、元の命題とその否定の真偽を判定する。

(1) すべての実数 $x$ について、$(x+1)^2 > 0$

(2) ある自然数 $n$ について、$n^2 = 5$

2. 解き方の手順

(1) の手順：

1. 命題の否定を述べる。

* 元の命題が「すべての $x$ について $P(x)$」という形であるとき、その否定は「ある $x$ について $\neg P(x)$」となる。

2. 元の命題の真偽を判定する。

3. 否定の真偽を判定する。

(2) の手順：

1. 命題の否定を述べる。

* 元の命題が「ある $x$ について $P(x)$」という形であるとき、その否定は「すべての $x$ について $\neg P(x)$」となる。

2. 元の命題の真偽を判定する。

3. 否定の真偽を判定する。

(1) の解答：

1. 否定：「ある実数 $x$ について、$(x+1)^2 \leq 0$」

2. 元の命題の真偽：

$x = -1$ のとき、$(x+1)^2 = (-1+1)^2 = 0$ となり、$(x+1)^2 > 0$ を満たさない。したがって、元の命題は偽である。

3. 否定の真偽：

$x = -1$ のとき、$(x+1)^2 = 0$ となり、$(x+1)^2 \leq 0$ を満たす。したがって、否定は真である。

(2) の解答：

1. 否定：「すべての自然数 $n$ について、$n^2 \neq 5$」

2. 元の命題の真偽：

$n^2 = 5$ となる自然数 $n$ は存在しない。($\sqrt{5}$ は無理数であるため) したがって、元の命題は偽である。

3. 否定の真偽：

すべての自然数 $n$ に対して、$n^2$ は $5$ と異なる。したがって、否定は真である。

3. 最終的な答え

(1)

* 否定：ある実数 $x$ について、$(x+1)^2 \leq 0$

* 元の命題：偽

* 否定：真

(2)

* 否定：すべての自然数 $n$ について、$n^2 \neq 5$

* 元の命題：偽

* 否定：真