等式 $\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \sin^2 \theta$ を証明する。

1. 問題の内容

等式 $\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \sin^2 \theta$ を証明する。

2. 解き方の手順

左辺から右辺を導く。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、

$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ である。

したがって、

$\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \sin^2 \theta$

$= \frac{\sin^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

$= \frac{\sin^2 \theta (1 - \cos^2 \theta)}{\cos^2 \theta}$

ここで、$1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ であるから、

$\frac{\sin^2 \theta (1 - \cos^2 \theta)}{\cos^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

$= \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \sin^2 \theta$

$= \tan^2 \theta \sin^2 \theta$

したがって、$\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \sin^2 \theta$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \sin^2 \theta$