$\tan \alpha = 2$、$\tan \beta = \frac{1}{3}$ のとき、$\tan(\alpha - \beta)$ の値を求め、さらに $0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\alpha - \beta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\tan \alpha = 2$、$\tan \beta = \frac{1}{3}$ のとき、$\tan(\alpha - \beta)$ の値を求め、さらに $0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\alpha - \beta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\tan(\alpha - \beta)$ の公式は次の通りです。

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan \alpha = 2$、$\tan \beta = \frac{1}{3}$ を上記の公式に代入します。

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{6}{3} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1$

よって、$\tan(\alpha - \beta) = 1$ です。

$0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\alpha - \beta$ の値を求めます。

$\tan(\alpha - \beta) = 1$ となる $\alpha - \beta$ の値は $\frac{\pi}{4}$ です。

なぜなら、$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ であり、$0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$ を満たすからです。

3. 最終的な答え

$\tan(\alpha - \beta) = 1$

$\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$