次の等式を証明する問題です。 $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2 = 2$

1. 問題の内容

次の等式を証明する問題です。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2 = 2$

2. 解き方の手順

左辺を展開し、整理します。

まず、$(\sin \theta + \cos \theta)^2$ を展開すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

次に、$(\sin \theta - \cos \theta)^2$ を展開すると、

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

したがって、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) + (\sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$

$= 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$

ここで、三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2(1) = 2$

よって、左辺は2に等しく、右辺と一致します。

3. 最終的な答え

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2 = 2$

が証明されました。