単原子分子の理想気体が断熱変化するときについて、以下の3つの問いに答えます。 (1) 比熱比 $\gamma$ の値を有効数字3桁で求めます。ここで、比熱比 $\gamma$ は定圧モル比熱を定積モル比熱で割ったものです。 (2) 初めの絶対温度を $T$、後の絶対温度を $T'$ とするとき、$TV^{\gamma-1} = T'V'^{\gamma-1}$ の関係が成り立つことを示します。 (3) 体積が初めの $\frac{1}{8}$ 倍になったとすると、絶対温度は何倍になるかを求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

単原子分子の理想気体が断熱変化するときについて、以下の3つの問いに答えます。

(1) 比熱比 $\gamma$ の値を有効数字3桁で求めます。ここで、比熱比 $\gamma$ は定圧モル比熱を定積モル比熱で割ったものです。

(2) 初めの絶対温度を $T$、後の絶対温度を $T'$ とするとき、$TV^{\gamma-1} = T'V'^{\gamma-1}$ の関係が成り立つことを示します。

(3) 体積が初めの $\frac{1}{8}$ 倍になったとすると、絶対温度は何倍になるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 比熱比 $\gamma$ の計算

単原子分子の定積モル比熱 $C_V$ と定圧モル比熱 $C_P$ はそれぞれ

$C_V = \frac{3}{2}R$

$C_P = \frac{5}{2}R$

と表されます（ここで $R$ は気体定数です）。したがって、比熱比 $\gamma$ は

$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{\frac{5}{2}R}{\frac{3}{2}R} = \frac{5}{3} = 1.6666...$

有効数字3桁で表すと、$\gamma = 1.67$ となります。

(2) $TV^{\gamma-1} = T'V'^{\gamma-1}$ の導出

断熱変化では、$pV^\gamma = 一定$ の関係が成り立ちます。ここで、$p$ は圧力、$V$ は体積です。

理想気体の状態方程式 $pV = nRT$ より、$p = \frac{nRT}{V}$ です（ここで $n$ は物質量、$R$ は気体定数、$T$ は絶対温度です）。

これを $pV^\gamma = 一定$ に代入すると、

$\frac{nRT}{V} V^\gamma = nRT V^{\gamma-1} = 一定$

となります。物質量 $n$ と気体定数 $R$ は定数なので、$TV^{\gamma-1} = 一定$ となります。

したがって、初期状態と変化後の状態の間で、$TV^{\gamma-1} = T'V'^{\gamma-1}$ が成り立ちます。

(3) 体積が $\frac{1}{8}$ 倍になったときの温度変化

$V' = \frac{1}{8}V$ であるとき、$TV^{\gamma-1} = T'V'^{\gamma-1}$ より、

$TV^{\gamma-1} = T' \left( \frac{1}{8}V \right)^{\gamma-1}$

$T = T' \left( \frac{1}{8} \right)^{\gamma-1}$

$T' = T \left( \frac{1}{8} \right)^{-(\gamma-1)} = T \cdot 8^{\gamma-1}$

$\gamma = \frac{5}{3}$ より、$\gamma - 1 = \frac{2}{3}$ なので、

$T' = T \cdot 8^{\frac{2}{3}} = T \cdot (8^{\frac{1}{3}})^2 = T \cdot 2^2 = 4T$

したがって、絶対温度は4倍になります。

3. 最終的な答え

(1) $\gamma = 1.67$

(2) $TV^{\gamma-1} = T'V'^{\gamma-1}$

(3) 4倍