原点から初速度 $v_0$、投射角 $\theta$ で質量 $m$ の質点を投げ上げたときの運動について、以下の問いに答える問題です。重力加速度は $g$ とし、空気抵抗は無視できるものとします。 問1. 質点の運動方程式を書け。 問2. 時刻 $t$ における質点の速度を求めよ。 問3. 時刻 $t$ における質点の座標を求めよ。 問4. 質点の軌道が放物線となることを示せ。 問5. 最高到達点の時刻と座標を求めよ。 問6. 図1のように、座標 $(X, Y)$ にある的に命中させるために必要な投射角 $\tan{\theta}$ を求めよ。 問7. 図2のように、質点が移動する際の軌跡と地面との間の面積が最大となるような投射角 $\theta_{max}$ を求めよ。ただし、$0 < \theta_{max} < \pi/2$ とする。

1. 問題の内容

原点から初速度 $v_0$、投射角 $\theta$ で質量 $m$ の質点を投げ上げたときの運動について、以下の問いに答える問題です。重力加速度は $g$ とし、空気抵抗は無視できるものとします。

問

1. 質点の運動方程式を書け。

問

2. 時刻 $t$ における質点の速度を求めよ。

問

3. 時刻 $t$ における質点の座標を求めよ。

問

4. 質点の軌道が放物線となることを示せ。

問

5. 最高到達点の時刻と座標を求めよ。

問

6. 図1のように、座標 $(X, Y)$ にある的に命中させるために必要な投射角 $\tan{\theta}$ を求めよ。

問

7. 図2のように、質点が移動する際の軌跡と地面との間の面積が最大となるような投射角 $\theta_{max}$ を求めよ。ただし、$0 < \theta_{max} < \pi/2$ とする。

2. 解き方の手順

問

1. 質点の運動方程式

水平方向には力が働かないので、

$m \frac{d^2x}{dt^2} = 0$

鉛直方向には重力が働くので、

$m \frac{d^2y}{dt^2} = -mg$

したがって、運動方程式は以下のようになります。

$\begin{cases}

m \frac{d^2x}{dt^2} = 0 \\

m \frac{d^2y}{dt^2} = -mg

\end{cases}$

問

2. 時刻 $t$ における質点の速度

初速度の水平成分は $v_0 \cos{\theta}$、鉛直成分は $v_0 \sin{\theta}$ です。

水平方向には力が働かないので、速度は一定です。

鉛直方向には重力が働くので、速度は $v_0 \sin{\theta} - gt$ となります。

したがって、速度は以下のようになります。

$\begin{cases}

v_x = v_0 \cos{\theta} \\

v_y = v_0 \sin{\theta} - gt

\end{cases}$

問

3. 時刻 $t$ における質点の座標

水平方向の座標は $x = v_0 \cos{\theta} t$ となります。

鉛直方向の座標は $y = v_0 \sin{\theta} t - \frac{1}{2}gt^2$ となります。

したがって、座標は以下のようになります。

$\begin{cases}

x = v_0 \cos{\theta} t \\

y = v_0 \sin{\theta} t - \frac{1}{2}gt^2

\end{cases}$

問

4. 質点の軌道が放物線となること

$x = v_0 \cos{\theta} t$ より、$t = \frac{x}{v_0 \cos{\theta}}$ です。

これを $y = v_0 \sin{\theta} t - \frac{1}{2}gt^2$ に代入すると、

$y = v_0 \sin{\theta} \frac{x}{v_0 \cos{\theta}} - \frac{1}{2}g (\frac{x}{v_0 \cos{\theta}})^2$

$y = x \tan{\theta} - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2{\theta}} x^2$

これは $x$ の2次関数なので、放物線となります。

問

5. 最高到達点の時刻と座標

最高到達点では、$v_y = 0$ となります。

$v_y = v_0 \sin{\theta} - gt = 0$ より、$t = \frac{v_0 \sin{\theta}}{g}$ です。

この時刻を $t_{peak}$ とします。

$x = v_0 \cos{\theta} t_{peak} = v_0 \cos{\theta} \frac{v_0 \sin{\theta}}{g} = \frac{v_0^2 \sin{\theta} \cos{\theta}}{g} = \frac{v_0^2 \sin{2\theta}}{2g}$

$y = v_0 \sin{\theta} t_{peak} - \frac{1}{2}gt_{peak}^2 = v_0 \sin{\theta} \frac{v_0 \sin{\theta}}{g} - \frac{1}{2}g (\frac{v_0 \sin{\theta}}{g})^2 = \frac{v_0^2 \sin^2{\theta}}{g} - \frac{1}{2} \frac{v_0^2 \sin^2{\theta}}{g} = \frac{v_0^2 \sin^2{\theta}}{2g}$

したがって、最高到達点の時刻と座標は以下のようになります。

$\begin{cases}

t_{peak} = \frac{v_0 \sin{\theta}}{g} \\

x = \frac{v_0^2 \sin{2\theta}}{2g} \\

y = \frac{v_0^2 \sin^2{\theta}}{2g}

\end{cases}$

問

6. 座標 $(X, Y)$ にある的に命中させるために必要な投射角 $\tan{\theta}$

$\begin{cases}

X = v_0 \cos{\theta} t \\

Y = v_0 \sin{\theta} t - \frac{1}{2}gt^2

\end{cases}$

$t = \frac{X}{v_0 \cos{\theta}}$ を $Y$ に代入すると、

$Y = v_0 \sin{\theta} \frac{X}{v_0 \cos{\theta}} - \frac{1}{2}g (\frac{X}{v_0 \cos{\theta}})^2$

$Y = X \tan{\theta} - \frac{g X^2}{2 v_0^2 \cos^2{\theta}}$

$Y = X \tan{\theta} - \frac{g X^2}{2 v_0^2} (1 + \tan^2{\theta})$

$\frac{g X^2}{2 v_0^2} \tan^2{\theta} - X \tan{\theta} + Y + \frac{g X^2}{2 v_0^2} = 0$

$\tan{\theta} = \frac{X \pm \sqrt{X^2 - 4 \frac{g X^2}{2 v_0^2} (Y + \frac{g X^2}{2 v_0^2})}}{2 \frac{g X^2}{2 v_0^2}}$

$\tan{\theta} = \frac{X \pm \sqrt{X^2 - \frac{2g X^2}{v_0^2} Y - (\frac{g X^2}{v_0^2})^2}}{\frac{g X^2}{v_0^2}}$

$\tan{\theta} = \frac{v_0^2}{g X} (1 \pm \sqrt{1 - \frac{2g Y}{v_0^2} - \frac{g^2 X^2}{v_0^4}})$

問

7. 質点が移動する際の軌跡と地面との間の面積が最大となるような投射角 $\theta_{max}$

質点の軌跡と地面との間の面積 $S$ は、

$S = \int_0^{x_{reach}} y \, dx$

$x_{reach}$ は到達距離で、$x_{reach} = \frac{v_0^2 \sin{2\theta}}{g}$ です。

$y = x \tan{\theta} - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2{\theta}} x^2$ より、

$S = \int_0^{\frac{v_0^2 \sin{2\theta}}{g}} (x \tan{\theta} - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2{\theta}} x^2) \, dx$

$S = [\frac{1}{2} x^2 \tan{\theta} - \frac{g}{6 v_0^2 \cos^2{\theta}} x^3]_0^{\frac{v_0^2 \sin{2\theta}}{g}}$

$S = \frac{1}{2} (\frac{v_0^2 \sin{2\theta}}{g})^2 \tan{\theta} - \frac{g}{6 v_0^2 \cos^2{\theta}} (\frac{v_0^2 \sin{2\theta}}{g})^3$

$S = \frac{1}{2} \frac{v_0^4}{g^2} (2 \sin{\theta} \cos{\theta})^2 \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} - \frac{g}{6 v_0^2 \cos^2{\theta}} \frac{v_0^6}{g^3} (2 \sin{\theta} \cos{\theta})^3$

$S = \frac{2 v_0^4}{g^2} \sin^3{\theta} \cos{\theta} - \frac{4 v_0^4}{3 g^2} \sin^3{\theta} \cos{\theta} = \frac{2 v_0^4}{3 g^2} \sin^3{\theta} \cos{\theta}$

$S$ を最大にするには、$\frac{dS}{d\theta} = 0$ となる $\theta$ を求めます。

$\frac{dS}{d\theta} = \frac{2 v_0^4}{3 g^2} (3 \sin^2{\theta} \cos^2{\theta} - \sin^4{\theta}) = 0$

$3 \sin^2{\theta} \cos^2{\theta} - \sin^4{\theta} = 0$

$\sin^2{\theta} (3 \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}) = 0$

$3 \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} = 0$

$3 \cos^2{\theta} = \sin^2{\theta}$

$\tan^2{\theta} = 3$

$\tan{\theta} = \sqrt{3}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

問

1. $\begin{cases} m \frac{d^2x}{dt^2} = 0 \\ m \frac{d^2y}{dt^2} = -mg \end{cases}$

問

2. $\begin{cases} v_x = v_0 \cos{\theta} \\ v_y = v_0 \sin{\theta} - gt \end{cases}$

問

3. $\begin{cases} x = v_0 \cos{\theta} t \\ y = v_0 \sin{\theta} t - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases}$

問

4. $y = x \tan{\theta} - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2{\theta}} x^2$ (放物線)

問

5. $\begin{cases} t_{peak} = \frac{v_0 \sin{\theta}}{g} \\ x = \frac{v_0^2 \sin{2\theta}}{2g} \\ y = \frac{v_0^2 \sin^2{\theta}}{2g} \end{cases}$

問

6. $\tan{\theta} = \frac{v_0^2}{g X} (1 \pm \sqrt{1 - \frac{2g Y}{v_0^2} - \frac{g^2 X^2}{v_0^4}})$

問

7. $\theta_{max} = \frac{\pi}{3}$