質量 $m$ の質点を、原点から時刻 $t=0$ に投射角 $\theta$、初期速度 $v_0$ で投射したときの運動について、以下の問いに答えます。ただし、重力加速度を $g$ とし、空気抵抗は無視できるものとします。 問1. 質点の運動方程式を書け。 問2. 時刻 $t$ における質点の速度を求めよ。 問3. 時刻 $t$ における質点の座標を求めよ。 問4. 質点の軌道が放物線となることを示せ。 問5. 最高到達点の時刻と座標を求めよ。 問6. 図1のように、座標 $(X, Y)$ にある的に命中させるために必要な投射角 $(\tan{\theta})$ を求めよ。 問7. 図2のように、質点が移動する際の軌跡と地面との間の面積が最大となるような投射角 $\theta_{max}$ を求めよ。ただし、$0 < \theta_{max} < \pi/2$ とする。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点を、原点から時刻 $t=0$ に投射角 $\theta$、初期速度 $v_0$ で投射したときの運動について、以下の問いに答えます。ただし、重力加速度を $g$ とし、空気抵抗は無視できるものとします。

問

1. 質点の運動方程式を書け。

問

2. 時刻 $t$ における質点の速度を求めよ。

問

3. 時刻 $t$ における質点の座標を求めよ。

問

4. 質点の軌道が放物線となることを示せ。

問

5. 最高到達点の時刻と座標を求めよ。

問

6. 図1のように、座標 $(X, Y)$ にある的に命中させるために必要な投射角 $(\tan{\theta})$ を求めよ。

問

7. 図2のように、質点が移動する際の軌跡と地面との間の面積が最大となるような投射角 $\theta_{max}$ を求めよ。ただし、$0 < \theta_{max} < \pi/2$ とする。

2. 解き方の手順

問

1. 質点の運動方程式

質点に働く力は重力のみなので、運動方程式は以下のようになります。

$m\frac{d^2x}{dt^2} = 0$

$m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg$

問

2. 時刻 $t$ における質点の速度

初期速度の $x$ 成分は $v_0\cos{\theta}$、初期速度の $y$ 成分は $v_0\sin{\theta}$ です。

$x$ 方向には力が働かないので、速度は一定です。

$y$ 方向には重力が働くので、速度は時間とともに変化します。

$v_x(t) = v_0\cos{\theta}$

$v_y(t) = v_0\sin{\theta} - gt$

問

3. 時刻 $t$ における質点の座標

速度を積分して、座標を求めます。初期位置は原点なので、積分定数は 0 です。

$x(t) = \int v_x(t) dt = \int v_0\cos{\theta} dt = v_0\cos{\theta}t$

$y(t) = \int v_y(t) dt = \int (v_0\sin{\theta} - gt) dt = v_0\sin{\theta}t - \frac{1}{2}gt^2$

問

4. 質点の軌道が放物線となること

$x(t) = v_0\cos{\theta}t$ より $t = \frac{x}{v_0\cos{\theta}}$ となります。

これを $y(t)$ に代入すると、

$y = v_0\sin{\theta}\frac{x}{v_0\cos{\theta}} - \frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0\cos{\theta}})^2 = \tan{\theta}x - \frac{g}{2v_0^2\cos^2{\theta}}x^2$

これは $x$ の二次関数なので、質点の軌道は放物線となります。

問

5. 最高到達点の時刻と座標

最高到達点では $v_y(t) = 0$ となります。

$v_0\sin{\theta} - gt = 0$ より、最高到達点の時刻は $t = \frac{v_0\sin{\theta}}{g}$ です。

この時刻を $x(t)$ と $y(t)$ に代入すると、最高到達点の座標は

$x = v_0\cos{\theta}\frac{v_0\sin{\theta}}{g} = \frac{v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}}{g} = \frac{v_0^2\sin{2\theta}}{2g}$

$y = v_0\sin{\theta}\frac{v_0\sin{\theta}}{g} - \frac{1}{2}g(\frac{v_0\sin{\theta}}{g})^2 = \frac{v_0^2\sin^2{\theta}}{g} - \frac{v_0^2\sin^2{\theta}}{2g} = \frac{v_0^2\sin^2{\theta}}{2g}$

問

6. 座標 $(X, Y)$ に命中させるために必要な投射角 $(\tan{\theta})$

$X = v_0\cos{\theta}t$ および $Y = v_0\sin{\theta}t - \frac{1}{2}gt^2$ が成り立つ必要があります。

$t = \frac{X}{v_0\cos{\theta}}$ を $Y$ の式に代入すると、

$Y = v_0\sin{\theta}\frac{X}{v_0\cos{\theta}} - \frac{1}{2}g(\frac{X}{v_0\cos{\theta}})^2 = X\tan{\theta} - \frac{gX^2}{2v_0^2\cos^2{\theta}}$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{1+\tan^2{\theta}}$ なので、

$Y = X\tan{\theta} - \frac{gX^2(1+\tan^2{\theta})}{2v_0^2}$

$\frac{gX^2}{2v_0^2}\tan^2{\theta} - X\tan{\theta} + Y + \frac{gX^2}{2v_0^2} = 0$

$\tan{\theta}$ についての二次方程式を解くと、

$\tan{\theta} = \frac{X \pm \sqrt{X^2 - 4(\frac{gX^2}{2v_0^2})(Y + \frac{gX^2}{2v_0^2})}}{2\frac{gX^2}{2v_0^2}} = \frac{v_0^2}{gX} \pm \frac{v_0^2}{gX}\sqrt{1 - \frac{2gY}{v_0^2} - \frac{g^2X^2}{v_0^4}}$

$\tan{\theta} = \frac{v_0^2}{gX}\left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{2gY}{v_0^2} - \frac{g^2X^2}{v_0^4}}\right)$

問

7. 質点が移動する際の軌跡と地面との間の面積が最大となるような投射角 $\theta_{max}$

質点の軌跡と地面との間の面積は、

$S = \int_0^{x_{max}} y(x)dx = \int_0^{x_{max}} (\tan{\theta}x - \frac{g}{2v_0^2\cos^2{\theta}}x^2) dx$

ここで、$x_{max}$ は水平到達距離で、$y=0$ となる $x$ の値です。

$x_{max} = \frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}$

$S = [\frac{1}{2}\tan{\theta}x^2 - \frac{g}{6v_0^2\cos^2{\theta}}x^3]_0^{x_{max}} = \frac{1}{2}\tan{\theta}(\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g})^2 - \frac{g}{6v_0^2\cos^2{\theta}}(\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g})^3 = \frac{2v_0^6}{3g^2}\sin^2{\theta}\cos{\theta}$

$S$ を $\theta$ で微分して 0 となる $\theta$ を求めます。

$\frac{dS}{d\theta} = \frac{2v_0^6}{3g^2}(2\sin{\theta}\cos^2{\theta} - \sin^3{\theta}) = \frac{2v_0^6}{3g^2}\sin{\theta}(2\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}) = 0$

$0 < \theta < \pi/2$ より $\sin{\theta} \neq 0$ なので、

$2\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} = 0$

$2\cos^2{\theta} = \sin^2{\theta}$

$\tan^2{\theta} = 2$

$\tan{\theta} = \sqrt{2}$

$\theta = \arctan{\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

問

1. $m\frac{d^2x}{dt^2} = 0$, $m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg$

問

2. $v_x(t) = v_0\cos{\theta}$, $v_y(t) = v_0\sin{\theta} - gt$

問

3. $x(t) = v_0\cos{\theta}t$, $y(t) = v_0\sin{\theta}t - \frac{1}{2}gt^2$

問

4. $y = \tan{\theta}x - \frac{g}{2v_0^2\cos^2{\theta}}x^2$ (放物線)

問

5. $t = \frac{v_0\sin{\theta}}{g}$, $x = \frac{v_0^2\sin{2\theta}}{2g}$, $y = \frac{v_0^2\sin^2{\theta}}{2g}$

問

6. $\tan{\theta} = \frac{v_0^2}{gX}\left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{2gY}{v_0^2} - \frac{g^2X^2}{v_0^4}}\right)$

問

7. $\theta_{max} = \arctan{\sqrt{2}}$