関数 $y = -x^2 + 2ax$ （ただし $0 \le x \le 1$）の最大値を $M(a)$ とします。 (1) $M(a)$ を求めなさい。 (2) $b = M(a)$ のグラフを描きなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2ax$ （ただし $0 \le x \le 1$）の最大値を $M(a)$ とします。

(1) $M(a)$ を求めなさい。

(2) $b = M(a)$ のグラフを描きなさい。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = -x^2 + 2ax$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2ax) = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = -(x-a)^2 + a^2$

よって、この関数は頂点が $(a, a^2)$ の上に凸な放物線です。

定義域 $0 \le x \le 1$ における最大値を考えるために、軸 $x = a$ の位置によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき、定義域内で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x = 0$ で最大値をとります。

$M(a) = -(0)^2 + 2a(0) = 0$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、頂点が定義域内にあるので、$x = a$ で最大値をとります。

$M(a) = a^2$

(iii) $a > 1$ のとき、定義域内で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x = 1$ で最大値をとります。

$M(a) = -(1)^2 + 2a(1) = 2a - 1$

したがって、$M(a)$ は次のように表されます。

$M(a) = \begin{cases}

0 & (a < 0) \\

a^2 & (0 \le a \le 1) \\

2a - 1 & (a > 1)

\end{cases}$

(2) $b = M(a)$ のグラフを描きます。

(i) $a < 0$ のとき、$b = 0$ なので、これは $a$ 軸上の $a < 0$ の部分になります。

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$b = a^2$ なので、これは放物線 $b = a^2$ の $0 \le a \le 1$ の部分になります。

(iii) $a > 1$ のとき、$b = 2a - 1$ なので、これは直線 $b = 2a - 1$ の $a > 1$ の部分になります。

3. 最終的な答え

(1) $M(a) = \begin{cases}

0 & (a < 0) \\

a^2 & (0 \le a \le 1) \\

2a - 1 & (a > 1)

\end{cases}$

(2) グラフは、

- $a < 0$ で $b = 0$ の直線、

- $0 \le a \le 1$ で $b = a^2$ の放物線、

- $a > 1$ で $b = 2a - 1$ の直線

をつなげたものになります。