問題は、以下の3つの和 $S$ を求めることです。 (1) $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \cdots + n \cdot 5^{n-1}$ (2) $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$ (3) $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \cdots + (3n-2)x^{n-1}$

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの和 $S$ を求めることです。

(1) $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \cdots + n \cdot 5^{n-1}$

(2) $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$

(3) $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \cdots + (3n-2)x^{n-1}$

2. 解き方の手順

(1)

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \cdots + n \cdot 5^{n-1}$ とおく。

両辺に5をかけると、

$5S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \cdots + (n-1) \cdot 5^{n-1} + n \cdot 5^n$

$S - 5S$ を計算すると、

$-4S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

等比数列の和の公式より、

$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{n-1} = \frac{1 - 5^n}{1 - 5} = \frac{5^n - 1}{4}$

したがって、

$-4S = \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n$

$S = -\frac{1}{4} (\frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n) = \frac{1}{16}(4n \cdot 5^n - 5^n + 1) = \frac{(4n - 1)5^n + 1}{16}$

(2)

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$ とおく。

両辺に$\frac{1}{3}$をかけると、

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \cdots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}$

$S - \frac{1}{3}S$ を計算すると、

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

等比数列の和の公式より、

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{3^n}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3^n})$

したがって、

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{n}{3^n}$

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{3}{2} \cdot \frac{n}{3^n} = \frac{9}{4} - \frac{9}{4 \cdot 3^n} - \frac{3n}{2 \cdot 3^n} = \frac{9}{4} - \frac{9 + 6n}{4 \cdot 3^n} = \frac{9 \cdot 3^n - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n} = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

(3)

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \cdots + (3n-2)x^{n-1}$ とおく。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + \cdots + (3n-5)x^{n-1} + (3n-2)x^n$

$(1-x)S = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \cdots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^n$

$= 1 + 3(x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) - (3n-2)x^n$

$= 1 + 3 \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = 1 + \frac{3x - 3x^n}{1-x} - (3n-2)x^n = \frac{1-x+3x-3x^n - (3n-2)x^n(1-x)}{1-x} = \frac{1+2x-3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$S = \frac{1+2x-3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2} = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{(4n-1)5^n + 1}{16}$

(2) $S = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

(3) $S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$