問題文は「$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ が奇数ならば、$a, b, c$ のうち奇数の個数は1個または3個である。」のようです。この命題が真であることを示す問題だと推測します。

1. 問題の内容

問題文は「$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ が奇数ならば、$a, b, c$ のうち奇数の個数は1個または3個である。」のようです。この命題が真であることを示す問題だと推測します。

2. 解き方の手順

与えられた命題を直接証明する代わりに、その対偶を証明します。対偶は「$a, b, c$ のうち奇数の個数が0個、2個のいずれかであるならば、$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ は偶数である」となります。

場合分けをして考えます。

(1) $a, b, c$ が全て偶数の場合：

このとき、$a = 2p, b = 2q, c = 2r$ （$p, q, r$ は整数）とおけます。

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = (2p)^2 + (2q)^2 + (2r)^2 - (2p)(2q) - (2q)(2r) - (2r)(2p) = 4p^2 + 4q^2 + 4r^2 - 4pq - 4qr - 4rp = 4(p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - rp)$

これは4の倍数であり、偶数です。

(2) $a, b$ が奇数で $c$ が偶数の場合：

このとき、$a = 2p + 1, b = 2q + 1, c = 2r$ （$p, q, r$ は整数）とおけます。

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = (2p+1)^2 + (2q+1)^2 + (2r)^2 - (2p+1)(2q+1) - (2q+1)(2r) - (2r)(2p+1)$

$= (4p^2 + 4p + 1) + (4q^2 + 4q + 1) + 4r^2 - (4pq + 2p + 2q + 1) - (4qr + 2r) - (4rp + 2r)$

$= 4p^2 + 4p + 1 + 4q^2 + 4q + 1 + 4r^2 - 4pq - 2p - 2q - 1 - 4qr - 2r - 4rp - 2r$

$= 4p^2 + 4q^2 + 4r^2 - 4pq - 4qr - 4rp + 2p + 2q - 4r + 1$

$= 2(2p^2 + 2q^2 + 2r^2 - 2pq - 2qr - 2rp + p + q - 2r) + 1$

これは奇数になるので、矛盾します。

(3) $a$ が奇数で $b,c$ が偶数の場合

$a = 2p + 1, b = 2q, c = 2r$ （$p, q, r$ は整数）とおけます。

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = (2p+1)^2 + (2q)^2 + (2r)^2 - (2p+1)(2q) - (2q)(2r) - (2r)(2p+1)$

$= 4p^2 + 4p + 1 + 4q^2 + 4r^2 - 4pq - 2q - 4qr - 4rp - 2r$

$= 4p^2 + 4q^2 + 4r^2 - 4pq - 4qr - 4rp + 4p - 2q - 2r + 1$

$=2(2p^2 + 2q^2 + 2r^2 - 2pq - 2qr - 2rp + 2p - q - r) + 1$

これも奇数になります。

より簡単な方法としては、$a, b, c$ の偶奇性を考えます。

$a, b, c$ のうち奇数の個数が0個なら、$a, b, c$ はすべて偶数なので、$a^2, b^2, c^2, ab, bc, ca$ はすべて偶数です。したがって、$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ は偶数です。

$a, b, c$ のうち奇数の個数が2個なら、例えば $a, b$ が奇数で $c$ が偶数とします。このとき、$a^2, b^2$ は奇数、$c^2$ は偶数、$ab$ は奇数、$bc, ca$ は偶数です。したがって、$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ = (奇数) + (奇数) + (偶数) - (奇数) - (偶数) - (偶数) = 奇数となり、これは矛盾です。

対偶が真であるため、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ が奇数ならば、$a, b, c$ のうち奇数の個数は1個または3個である。