$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の問題を解きます。 (1) 方程式 $\sqrt{2}\sin\theta - \cos 2\theta + 1 = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めます。 (2) 不等式 $\sqrt{2}\sin\theta - \cos 2\theta + 1 < 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の問題を解きます。

(1) 方程式 $\sqrt{2}\sin\theta - \cos 2\theta + 1 = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めます。

(2) 不等式 $\sqrt{2}\sin\theta - \cos 2\theta + 1 < 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $\sqrt{2}\sin\theta - \cos 2\theta + 1 = 0$ を解きます。

倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を用いると、方程式は以下のように変形できます。

$\sqrt{2}\sin\theta - (1 - 2\sin^2\theta) + 1 = 0$

$\sqrt{2}\sin\theta - 1 + 2\sin^2\theta + 1 = 0$

$2\sin^2\theta + \sqrt{2}\sin\theta = 0$

$\sin\theta (2\sin\theta + \sqrt{2}) = 0$

したがって、$\sin\theta = 0$ または $\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sin\theta = 0$ のとき、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta = 0, \pi$ です。

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ です。

よって、方程式を満たす $\theta$ の値は $0, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ です。

(2) 不等式 $\sqrt{2}\sin\theta - \cos 2\theta + 1 < 0$ を解きます。

(1)と同様に、不等式を変形すると

$2\sin^2\theta + \sqrt{2}\sin\theta < 0$

$\sin\theta (2\sin\theta + \sqrt{2}) < 0$

したがって、$\sin\theta$ の符号によって場合分けします。

(i) $\sin\theta > 0$ のとき、$2\sin\theta + \sqrt{2} < 0$ より $\sin\theta < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となりますが、これは $\sin\theta > 0$ と矛盾するので、この場合は解なしです。

(ii) $\sin\theta < 0$ のとき、$2\sin\theta + \sqrt{2} > 0$ より $\sin\theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

したがって、$-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin\theta < 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ であり、$\sin\theta = 0$ となる $\theta$ は $0, \pi, 2\pi$ です。

よって、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin\theta < 0$ となる $\theta$ の範囲は、$\pi < \theta < \frac{5\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(2) $\pi < \theta < \frac{5\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$