点 $(2, -1)$ を通り、直線 $2x - 3y + 5 = 0$ に垂直な直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(2, -1)$ を通り、直線 $2x - 3y + 5 = 0$ に垂直な直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線 $2x - 3y + 5 = 0$ の傾きを求めます。

この式を $y$ について解くと、

$3y = 2x + 5$

$y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$

したがって、与えられた直線の傾きは $\frac{2}{3}$ です。

次に、求める直線は与えられた直線に垂直なので、傾きの積は $-1$ になります。

求める直線の傾きを $m$ とすると、

$\frac{2}{3}m = -1$

$m = -\frac{3}{2}$

求める直線は点 $(2, -1)$ を通り、傾きが $-\frac{3}{2}$ であるから、直線の方程式は、

$y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 2)$

$y + 1 = -\frac{3}{2}x + 3$

$y = -\frac{3}{2}x + 2$

両辺に2をかけて整理します。

$2y = -3x + 4$

$3x + 2y - 4 = 0$

3. 最終的な答え

$3x + 2y - 4 = 0$