2点A(1, 4)とB(5, -2)を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を求める。

## 問題14

1. 問題の内容

2点A(1, 4)とB(5, -2)を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、線分ABの中点Mの座標を求める。

$$M = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{4+(-2)}{2}\right) = (3, 1)$$

次に、線分ABの傾きを求める。

$$m_{AB} = \frac{-2-4}{5-1} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$

垂直二等分線の傾きは、線分ABの傾きの逆数の符号を反転させたものになる。

$$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$$

垂直二等分線は点M(3, 1)を通り、傾きが $\frac{2}{3}$ である直線であるから、その方程式は次のようになる。

$$y - 1 = \frac{2}{3}(x - 3)$$

$$y = \frac{2}{3}x - 2 + 1$$

$$y = \frac{2}{3}x - 1$$

整理すると、

$$3y = 2x - 3$$

$$2x - 3y - 3 = 0$$

3. 最終的な答え

$2x - 3y - 3 = 0$

## 問題15

1. 問題の内容

2直線 $2x + ay + 2 = 0$ と $(a+1)x + y + 1 = 0$ が与えられている。

(1) 2直線が平行となるような定数$a$の値を求める。

(2) 2直線が垂直となるような定数$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2直線が平行となる条件は、それぞれの傾きが等しいことである。

$2x + ay + 2 = 0$ を変形して $y = -\frac{2}{a}x - \frac{2}{a}$.　傾きは $-\frac{2}{a}$。

$(a+1)x + y + 1 = 0$ を変形して $y = -(a+1)x - 1$. 傾きは $-(a+1)$。

よって、$-\frac{2}{a} = -(a+1)$ となる。

$$2 = a(a+1)$$

$$a^2 + a - 2 = 0$$

$$(a+2)(a-1) = 0$$

$$a = -2, 1$$

$a=0$の場合、$2x+2=0$となり、$y$の項が無くなるため、平行条件を満たさない。

$(a+1)x + y + 1 = 0$において、$a=-1$とすると、$y+1=0$となり、$x$の項が無くなるため、平行条件を満たさない。

したがって、$a=-2$および$a=1$は条件を満たす。

(2) 2直線が垂直となる条件は、それぞれの傾きの積が-1になることである。

$$-\frac{2}{a} \cdot -(a+1) = -1$$

$$\frac{2(a+1)}{a} = -1$$

$$2a + 2 = -a$$

$$3a = -2$$

$$a = -\frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2, 1$

(2) $a = -\frac{2}{3}$