4桁の自然数$n$の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ$a, b, c, d$とする。次の条件$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で何個あるか。

1. 問題の内容

4桁の自然数$n$の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ$a, b, c, d$とする。次の条件$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

$0$から$9$までの10個の整数の中から、異なる4つの数字を選ぶ。

選んだ4つの数字を大きい順に$a, b, c, d$に割り当てれば、条件$a>b>c>d$を満たす4桁の自然数$n$が一つ決まる。

したがって、求める個数は、10個の整数から4個を選ぶ組み合わせの数である。

組み合わせの数は、$_{10}C_4$で表され、以下の式で計算できる。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

3. 最終的な答え

210個