4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a$, $b$, $c$, $d$ とする。次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a \geq b > c > d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a$, $b$, $c$, $d$ とする。次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a \geq b > c > d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合：

0から9までの10個の整数から4個を選び、大きい順に $a, b, c, d$ に割り当てれば良い。

これは、10個から4個を選ぶ組み合わせの数に等しいので、

$_{10}C_4$ を計算する。

$_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) $a \geq b > c > d$ の場合：

$a > b > c > d$ の場合と $a = b > c > d$ の場合に分けて考える。

$a > b > c > d$ の場合は、(1)で求めたように210個である。

$a = b > c > d$ の場合：

$a$ と $b$ は同じ値なので、0から9までの10個の数字から3個の数字を選び、大きい順に $a, b, c, d$ に割り当てる。

このとき、$a=b>c>d$ となるように割り当てる。例えば選んだ3つの数字が7, 5, 2であれば、$a=b=7$, $c=5$, $d=2$ とする。

これは、10個から3個を選ぶ組み合わせの数に等しいので、$_{10}C_3$ を計算する。

$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

よって、$a \geq b > c > d$ となる場合の数は、$210 + 120 = 330$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 330個