四面体OABCにおいて、OA = OB = OC = AC = 1、AB = BC = √3である。辺BCを1:2に内分する点をDとし、線分ODを3:1に内分する点をEとする。また、点Eから直線ABに引いた垂線と直線ABとの交点をHとする。ベクトルOA = a、ベクトルOB = b、ベクトルOC = cとする。 (1) ベクトルOEをベクトルb、ベクトルcを用いて表せ。また、内積ベクトルb・ベクトルcの値を求めよ。 (2) ベクトルOHをベクトルa、ベクトルbを用いて表せ。 (3) 線分EH上の点をPとし、三角形OAPの重心をGとする。点Pが線分EH上を動くとき、点Gが描く線分の長さを求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、OA = OB = OC = AC = 1、AB = BC = √3である。辺BCを1:2に内分する点をDとし、線分ODを3:1に内分する点をEとする。また、点Eから直線ABに引いた垂線と直線ABとの交点をHとする。ベクトルOA = a、ベクトルOB = b、ベクトルOC = cとする。

(1) ベクトルOEをベクトルb、ベクトルcを用いて表せ。また、内積ベクトルb・ベクトルcの値を求めよ。

(2) ベクトルOHをベクトルa、ベクトルbを用いて表せ。

(3) 線分EH上の点をPとし、三角形OAPの重心をGとする。点Pが線分EH上を動くとき、点Gが描く線分の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、ベクトルODをベクトルOBとベクトルOCで表す。DはBCを1:2に内分する点なので、

$OD = \frac{2}{3}OB + \frac{1}{3}OC = \frac{2}{3}b + \frac{1}{3}c$

次に、ベクトルOEをベクトルODで表す。EはODを3:1に内分する点なので、

$OE = \frac{3}{4}OD = \frac{3}{4}(\frac{2}{3}b + \frac{1}{3}c) = \frac{1}{2}b + \frac{1}{4}c$

したがって、$OE = \frac{1}{2}b + \frac{1}{4}c$となる。

次に、内積ベクトルb・ベクトルcの値を求める。

$BC^2 = |c-b|^2 = |c|^2 - 2b \cdot c + |b|^2$

$BC^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$|c|^2 = 1$、$|b|^2 = 1$を代入すると、

$3 = 1 - 2b \cdot c + 1$

$2b \cdot c = -1$

$b \cdot c = -\frac{1}{2}$

(2)

EからABに下ろした垂線の足をHとするので、ベクトルEHはベクトルABに垂直である。

$OH = sa + (1-s)b$とおくと、

$EH = OH - OE = sa + (1-s)b - (\frac{1}{2}b + \frac{1}{4}c) = sa + (\frac{1}{2}-s)b - \frac{1}{4}c$

$AB = b - a$なので、$EH \cdot AB = 0$より、

$(sa + (\frac{1}{2}-s)b - \frac{1}{4}c) \cdot (b - a) = 0$

$sa \cdot b - sa \cdot a + (\frac{1}{2}-s)b \cdot b - (\frac{1}{2}-s)b \cdot a - \frac{1}{4}c \cdot b + \frac{1}{4}c \cdot a = 0$

$a \cdot a = 1$、$b \cdot b = 1$、$a \cdot b = \frac{1}{2}$、$b \cdot c = -\frac{1}{2}$、$c \cdot a = \frac{1}{2}$を代入すると、

$\frac{1}{2}s - s + \frac{1}{2} - s - (\frac{1}{2}-s)\frac{1}{2} - \frac{1}{4}(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{2}) = 0$

$\frac{1}{2}s - s + \frac{1}{2} - s - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}s + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 0$

$-\frac{3}{2}s + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}s + \frac{1}{4} = 0$

$-s + \frac{3}{4} = 0$

$s = \frac{3}{4}$

$OH = \frac{3}{4}a + (1 - \frac{3}{4})b = \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b$

(3)

Pは線分EH上にあるので、$OP = (1-t)OE + tOH = (1-t)(\frac{1}{2}b + \frac{1}{4}c) + t(\frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b) = \frac{3}{4}ta + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}t)b + \frac{1}{4}(1-t)c = \frac{3}{4}ta + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}t)b + \frac{1}{4}(1-t)c$

Gは三角形OAPの重心なので、$OG = \frac{OA + OP + 0}{3} = \frac{a + OP}{3} = \frac{1}{3}(a + \frac{3}{4}ta + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}t)b + \frac{1}{4}(1-t)c) = \frac{1}{3}(1 + \frac{3}{4}t)a + \frac{1}{3}(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}t)b + \frac{1}{12}(1-t)c$

$0 \le t \le 1$

点Gの座標を(x,y,z)とおくと、$OG = xa + yb + zc$なので、

$x = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}t$、$y = \frac{1}{6} - \frac{1}{12}t$、$z = \frac{1}{12} - \frac{1}{12}t$

$t = 4x - \frac{4}{3}$を$y$と$z$に代入すると、

$y = \frac{1}{6} - \frac{1}{12}(4x - \frac{4}{3}) = \frac{1}{6} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9} = \frac{5}{18} - \frac{1}{3}x$

$z = \frac{1}{12} - \frac{1}{12}(4x - \frac{4}{3}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9} = \frac{7}{36} - \frac{1}{3}x$

$0 \le t \le 1$より、$0 \le 4x - \frac{4}{3} \le 1$

$\frac{4}{3} \le 4x \le \frac{7}{3}$

$\frac{1}{3} \le x \le \frac{7}{12}$

Gが描く線分の長さは、

$\sqrt{(\frac{7}{12} - \frac{1}{3})^2 + (\frac{5}{18} - \frac{1}{3} * \frac{7}{12} - (\frac{5}{18} - \frac{1}{3} * \frac{1}{3}))^2 + (\frac{7}{36} - \frac{1}{3} * \frac{7}{12} - (\frac{7}{36} - \frac{1}{3} * \frac{1}{3}))^2}$

$\sqrt{(\frac{3}{12})^2 + (\frac{5}{18} - \frac{7}{36} - (\frac{5}{18} - \frac{1}{9}))^2 + (\frac{7}{36} - \frac{7}{36} - (\frac{7}{36} - \frac{1}{9}))^2}$

$\sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (\frac{10-7}{36} - \frac{5-2}{18})^2 + (-\frac{7-4}{36})^2}$

$\sqrt{\frac{1}{16} + (\frac{3}{36} - \frac{3}{18})^2 + (-\frac{3}{36})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + (\frac{1}{12} - \frac{1}{6})^2 + (-\frac{1}{12})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + (-\frac{1}{12})^2 + (-\frac{1}{12})^2}$

$\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{144} + \frac{1}{144}} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{2}{144}} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{72}} = \sqrt{\frac{9+2}{144}} = \sqrt{\frac{11}{144}} = \frac{\sqrt{11}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $OE = \frac{1}{2}b + \frac{1}{4}c$, $b \cdot c = -\frac{1}{2}$

(2) $OH = \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b$

(3) $\frac{\sqrt{11}}{12}$