$n$ を整数とするとき、$n \le 2 + \sqrt{7} < n+1$ を満たす $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を整数とするとき、$n \le 2 + \sqrt{7} < n+1$ を満たす $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{7}$ の近似値を考えます。

$2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$ であるから、$2 < \sqrt{7} < 3$ となります。より正確な近似値を見つけるために、$2.5^2 = 6.25$、$2.6^2 = 6.76$、$2.7^2 = 7.29$ であることから、$2.6 < \sqrt{7} < 2.7$ であることがわかります。

したがって、$2 + 2.6 < 2 + \sqrt{7} < 2 + 2.7$ より、$4.6 < 2 + \sqrt{7} < 4.7$ となります。

$n$ は整数であるので、$n \le 2 + \sqrt{7} < n+1$ を満たす $n$ は、$n=4$ であると推測できます。

$\sqrt{7}$ の値の範囲を正確に特定するために、$2 + \sqrt{7}$ を評価します。

$4 \le 2 + \sqrt{7} < 5$ であることを示す必要があります。

$2 \le \sqrt{7} < 3$ より、$2 + 2 \le 2 + \sqrt{7} < 2 + 3$ となり、$4 \le 2 + \sqrt{7} < 5$ が成り立ちます。

したがって、条件を満たす整数 $n$ は 4 です。

3. 最終的な答え

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