ベクトルの問題です。 $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$ で、$\vec{a} - \vec{b}$ と $5\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めます。

1. 問題の内容

ベクトルの問題です。

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$ で、$\vec{a} - \vec{b}$ と $5\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めます。

2. 解き方の手順

$\vec{a} - \vec{b}$ と $5\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直であることから、内積が0になることを利用します。

$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (5\vec{a} + 2\vec{b}) = 0$

この式を展開します。

$5\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 5\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

内積の性質 $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ と $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ を利用します。

$5|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 0$

問題文より $|\vec{a}| = 1$ と $|\vec{b}| = 2$ を代入します。

$5(1)^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 2(2)^2 = 0$

$5 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 8 = 0$

$-3\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

次に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

$-1 = (1)(2)\cos\theta$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$ (または $120^\circ$)

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $\frac{2\pi}{3}$ (または $120^\circ$)