平面上の3点O, A, Bについて、線分ABを5:7に内分する点をC, 7:4に外分する点をDとする。 $\vec{OC} = s\vec{OA} + (1-s)\vec{OB}$と表すとき、$s$の値を求め、$\vec{CD} = t\vec{AB}$と表すとき、$t$の値を求めよ。ただし、$s$, $t$は実数とする。

1. 問題の内容

平面上の3点O, A, Bについて、線分ABを5:7に内分する点をC, 7:4に外分する点をDとする。

$\vec{OC} = s\vec{OA} + (1-s)\vec{OB}$と表すとき、$s$の値を求め、$\vec{CD} = t\vec{AB}$と表すとき、$t$の値を求めよ。ただし、$s$, $t$は実数とする。

2. 解き方の手順

まず、点Cが線分ABを5:7に内分することから、$\vec{OC}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。

内分点の公式より、

$\vec{OC} = \frac{7\vec{OA} + 5\vec{OB}}{5+7} = \frac{7}{12}\vec{OA} + \frac{5}{12}\vec{OB}$

$\vec{OC} = s\vec{OA} + (1-s)\vec{OB}$と比較して、

$s = \frac{7}{12}$

次に、点Dが線分ABを7:4に外分することから、$\vec{OD}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。

外分点の公式より、

$\vec{OD} = \frac{-4\vec{OA} + 7\vec{OB}}{7-4} = \frac{-4}{3}\vec{OA} + \frac{7}{3}\vec{OB}$

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC}$より、

$\vec{CD} = \frac{-4}{3}\vec{OA} + \frac{7}{3}\vec{OB} - (\frac{7}{12}\vec{OA} + \frac{5}{12}\vec{OB})$

$\vec{CD} = (-\frac{4}{3}-\frac{7}{12})\vec{OA} + (\frac{7}{3}-\frac{5}{12})\vec{OB}$

$\vec{CD} = (-\frac{16}{12}-\frac{7}{12})\vec{OA} + (\frac{28}{12}-\frac{5}{12})\vec{OB}$

$\vec{CD} = -\frac{23}{12}\vec{OA} + \frac{23}{12}\vec{OB}$

$\vec{CD} = \frac{23}{12}(\vec{OB} - \vec{OA})$

$\vec{CD} = \frac{23}{12}\vec{AB}$

$\vec{CD} = t\vec{AB}$と比較して、

$t = \frac{23}{12}$

3. 最終的な答え

$s = \frac{7}{12}$

$t = \frac{23}{12}$