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次の計算問題を解きます。 $\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} - \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$

代数学式の計算有理化平方根
2025/6/15

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。
3+53−5−3−53+5\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} - \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を有理化します。
3+53−5=(3+5)(3+5)(3−5)(3+5)=9+65+59−5=14+654=7+352\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{(3 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}
3−53+5=(3−5)(3−5)(3+5)(3−5)=9−65+59−5=14−654=7−352\frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{(3 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}
次に、これらの結果を元の式に代入して計算します。
7+352−7−352=(7+35)−(7−35)2=7+35−7+352=652=35\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} - \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{(7 + 3\sqrt{5}) - (7 - 3\sqrt{5})}{2} = \frac{7 + 3\sqrt{5} - 7 + 3\sqrt{5}}{2} = \frac{6\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}

3. 最終的な答え

353\sqrt{5}

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