$x$ の2次方程式 $x^2 - (3a-1)x + 2a^2 = 0$ の解がどちらも整数であるとき、整数 $a$ の値を全て求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $x^2 - (3a-1)x + 2a^2 = 0$ の解がどちらも整数であるとき、整数 $a$ の値を全て求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を解きます。解の公式または因数分解を利用します。ここでは因数分解を試みます。

$x^2 - (3a-1)x + 2a^2 = 0$

この式を因数分解すると、

$(x - a)(x - 2a) = 0$

となります。したがって、解は $x = a$ と $x = 2a$ です。問題文より、これらの解がどちらも整数である必要があります。

$x = a$ と $x = 2a$ が整数であるという条件から、与えられた条件は「$a$ が整数である」という条件と同値であることがわかります。問題文では、$a$ が整数であると仮定しているので、解 $a$ と $2a$ が整数であるという条件は常に満たされます。

しかし、問題は $a$ がどのような整数値を取りうるか問うています。問題文に特別な制限はないため、任意の整数 $a$ が解となり得ます。

改めて、問題文を注意深く確認すると、「xの2次方程式の解がいずれも整数であるとき、整数aの値をすべて求めよ」とあります。

$x = a$と$x = 2a$が解なので、これらが整数である必要があります。

$a$が整数のとき、$2a$も整数になります。

したがって、$a$が整数のとき、xの2次方程式の解はいずれも整数になります。

問題文に$a$についての制限がないので、すべての整数が解になります。

考え方を変えます。

解と係数の関係から、解を$\alpha, \beta$とすると、

$\alpha + \beta = 3a - 1$

$\alpha \beta = 2a^2$

$\alpha, \beta$が整数であるとき、$\alpha + \beta$も整数なので、$3a - 1$は整数となり、$a$は整数です。

また、$\alpha \beta = 2a^2$も整数なので、$a$は整数です。

$\alpha + \beta = 3a - 1$より$3a = \alpha + \beta + 1$なので、$a = (\alpha + \beta + 1)/3$

$\alpha \beta = 2a^2$に代入して整理すると、

$9\alpha\beta = 2(\alpha + \beta + 1)^2$

$9\alpha\beta = 2(\alpha^2 + \beta^2 + 1 + 2\alpha\beta + 2\alpha + 2\beta)$

$9\alpha\beta = 2\alpha^2 + 2\beta^2 + 2 + 4\alpha\beta + 4\alpha + 4\beta$

$0 = 2\alpha^2 + 2\beta^2 - 5\alpha\beta + 4\alpha + 4\beta + 2$

$4\alpha^2 + 4\beta^2 - 10\alpha\beta + 8\alpha + 8\beta + 4 = 0$

$(2\alpha - \beta)^2 + 4\alpha + 4\beta + 4 - 6\alpha\beta = 0$

ここから$a$の値を具体的に求めるのは難しいです。

元に戻って因数分解から考えると、$x=a$と$x=2a$が解です。

これらが共に整数なので、$a$が整数のとき、$2a$も整数になります。

なので、$a$が整数の時、条件を満たします。

$a$に制限がないので、試してみます。

$a=0$の時、$x=0, 0$

$a=1$の時、$x=1, 2$

$a=-1$の時、$x=-1, -2$

3. 最終的な答え

すべての整数