関数 $f(\theta) = a\sin(b\theta + c) + d$ について、初期状態で $a=b=1, c=d=0$ 、つまり $y = \sin \theta$ のグラフが表示されている。 $a, b, c, d$ のうち、いずれか1つの値だけを変化させたとき、以下の変化が起こりうるのは、$a, b, c, d$ のどの値を変化させたときか、それぞれ全て答える問題です。ただし、$a$ と $b$ は0の値をとらないものとします。 (1) 関数 $f(\theta)$ の周期が変わった。 (2) 関数 $f(\theta)$ の最大値と最小値が変わった。 (3) 関数 $f(\theta)$ が奇関数から偶関数に変わった。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = a\sin(b\theta + c) + d$ について、初期状態で $a=b=1, c=d=0$ 、つまり $y = \sin \theta$ のグラフが表示されている。 $a, b, c, d$ のうち、いずれか1つの値だけを変化させたとき、以下の変化が起こりうるのは、$a, b, c, d$ のどの値を変化させたときか、それぞれ全て答える問題です。ただし、$a$ と $b$ は0の値をとらないものとします。

(1) 関数 $f(\theta)$ の周期が変わった。

(2) 関数 $f(\theta)$ の最大値と最小値が変わった。

(3) 関数 $f(\theta)$ が奇関数から偶関数に変わった。

2. 解き方の手順

(1) 周期の変化について:

$f(\theta) = a\sin(b\theta + c) + d$ の周期は $\frac{2\pi}{|b|}$ で与えられます。初期状態では $b=1$ なので、周期は $2\pi$ です。周期を変えるためには、$b$ の値を変化させる必要があります。$a, c, d$ は周期に影響を与えません。

(2) 最大値と最小値の変化について:

$f(\theta)$ の最大値は $a + d$ であり、最小値は $-a + d$ です。初期状態では $a=1, d=0$ なので、最大値は1、最小値は-1です。最大値と最小値を変えるためには、$a$ または $d$ の値を変化させる必要があります。 $b, c$ は最大値と最小値に影響を与えません。

(3) 奇関数から偶関数への変化について:

$f(\theta) = a\sin(b\theta + c) + d$ が奇関数であるためには、$f(-\theta) = -f(\theta)$ が成り立つ必要があります。初期状態では $f(\theta) = \sin \theta$ であり、これは奇関数です。

$d$ の値を変化させた場合、 $f(\theta) = \sin \theta + d$ となり、$d \neq 0$ ならば奇関数でも偶関数でもありません。

$c$ の値を変化させた場合、$f(\theta) = \sin(\theta + c)$ となります。$c$ が $n\pi$ （$n$ は整数）の形でないとき、奇関数でも偶関数でもありません。例えば、$c=\frac{\pi}{2}$ のとき $f(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$ となり、偶関数になります。

$a$ または $b$ の値を変化させた場合、$\sin$ の平行移動または振幅の変化であるため、奇関数または偶関数のいずれかの性質を持つ可能性があります。

したがって、$c$ または $d$ の値を変化させると、奇関数から偶関数への変化が起こりえます。

3. 最終的な答え

(1) 周期が変わった：$b$

(2) 最大値と最小値が変わった：$a, d$

(3) 奇関数から偶関数に変わった：$c, d$