与えられた4つの式を因数分解する問題です。これらの式は、立方和または立方差の形をしています。 (1) $x^3 + 8$ (2) $x^3 - 27$ (3) $8x^3 + 125y^3$ (4) $27a^3 - 64b^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。これらの式は、立方和または立方差の形をしています。

(1) $x^3 + 8$

(2) $x^3 - 27$

(3) $8x^3 + 125y^3$

(4) $27a^3 - 64b^3$

2. 解き方の手順

これらの式は、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ または $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を用いて因数分解できます。

(1) $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$

$a = x$, $b = 2$として、和の立方公式に当てはめます。

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $x^3 - 27 = x^3 - 3^3$

$a = x$, $b = 3$として、差の立方公式に当てはめます。

$x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$

(3) $8x^3 + 125y^3 = (2x)^3 + (5y)^3$

$a = 2x$, $b = 5y$として、和の立方公式に当てはめます。

$(2x)^3 + (5y)^3 = (2x+5y)((2x)^2 - (2x)(5y) + (5y)^2)$

$= (2x+5y)(4x^2 - 10xy + 25y^2)$

(4) $27a^3 - 64b^3 = (3a)^3 - (4b)^3$

$a = 3a$, $b = 4b$として、差の立方公式に当てはめます。

$(3a)^3 - (4b)^3 = (3a-4b)((3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2)$

$= (3a-4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $(x-3)(x^2 + 3x + 9)$

(3) $(2x+5y)(4x^2 - 10xy + 25y^2)$

(4) $(3a-4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$